ECUACION DE BERNOULLI.

ECUACION DE BERNOULLI

Antecedentes

Jacob Bernoulli

Nació: el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, Suiza

Murió: el 16 de agosto de1705 en Basilea, Suiza

Nicolaus Bernoulli padre de Jacob Bernoulli, era un importante ciudadano de Basilea, miembro del consejo de la ciudad y magistrado. La madre de Jacob Bernoulli también procedía de una importante familia de Basilea de banqueros y consejeros locales. Jacob Bernoulli era el hermano de Johann Bernoulli y el tío de Daniel Bernoulli. Fue obligado a estudiar filosofía y teología por sus padres, a los que guardó resentimiento, y se graduó en la Universidad, de Basilea en filosofía en 1671 y en teología en 1676.

Uno de los acontecimientos más significativos en relación a los estudios matemáticos de Jacob Bernoulli sucedió cuando su hermano más pequeño, Johann Bernoulli, comenzó a trabajar en tópicos matemáticos. Johann estudió medicina aconsejado por su padre pero mientras estudiaba pidió a su hermano Jacob que le enseñara matemáticas. Jacob Bernoulli fue nombrado profesor de matemáticas en Basilea en 1687 y los dos hermanos comenzaron a estudiar cálculo como lo presentaba Leibniz en su escrito de 1684 sobre el cálculo diferencial Nova Methodus pro maximis et Minimis, itemque Tangentibus... publicado en el Acta Eruditorum. Estudiaron también las publicaciones de Von Tschirnhaus. Hay que aclarar que las publicaciones de Leibniz sobre el cálculo eran muy oscuras para los matemáticos de la época y los Bernoulli fueron los primeros en intentar comprender y aplicar las teorías de Leibniz.

Las primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron unos documentos sobre los paralelismos entre la lógica y el álgebra publicados en 1685, un trabajo sobre probabilidad2 en 1685 y otro sobre geometría en 1687. Sus resultados en geometría proporcionaron un sistema para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales con dos líneas perpendiculares.

Ya en 1689 había publicado importantes trabajos sobre las series infinitesimales y su ley sobre los grandes números en teoría de probabilidades. La interpretación de la probabilidad como frecuencia relativa dice que si un experimento se repite un gran número de veces, la frecuencia relativa con la ocurrirá un evento igualará a la probabilidad del evento. La ley de los grandes números es una interpretación matemática de este resultado. Jacob Bernoulli publicó cinco tratados sobre las series infinitesimales entre 1682 y 1704. Los dos primeros contenían muchos resultados, como el resultado fundamental de que ∑ (1/n) diverge, lo que Bernoulli pensaba era nuevo pero ya había sido demostrado por Mengoli 40 años antes. Bernoulli no pudo encontrar una forma cerrada para ∑ (1/n2) pero demostró que convergía a un límite finito menor que 2. Euler fue el primero en encontrar el sumatorio de estas series en 1737. Bernoulli también estudió las series exponenciales que procedían de examinar el interés compuesto.

Descripción de la ecuación

En mayo de 1960, publicado en un documento de Acta Eruditorum, demostró que el problema de determinar el isocrono es equivalente a resolver una ecuación diferencial3 no lineal de primer orden. El isocrono, o curva de descenso constante, es la curva junto a la que una partícula descenderá bajo el efecto de la gravedad desde cualquier punto hasta el fondo en exactamente el mismo tiempo, sea cual sea el punto inicial. Había sido estudiado por Huygens en 1687 y por Leibniz en 1689. Tras encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió mediante lo que hoy llamamos separación de variables. El documento de Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, porque el término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación que hoy llamamos 'Ecuación de Bernoulli'

y' = p(x)y + q(x)yn

donde n es cualquier numero real.

NOTA: observe que para n=0 y n=1, la ecuación es lineal. Para n≠0 y n≠1 la sustitución u=y^(1-n) reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal.

Caso particular: α = 0 En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

Caso particular: α = 1

En este caso la solución viene dada por:

Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli.

Veremos un método de solución por medio de un ejemplo:

Dada la ecuación x dy/dx+y=x^2 y^2

primero reescribimos la ecuación como dy/dx+1/x y=xy^2

por medio de una división de toda la ecuación entre x.

Con n=2 tenemos u=y^(-1) o y=u^(-1). Entonces sustituimos:

dy/dx=dy/du du/dx=-u du/dx ←Regla de la cadena

en la ecuación dada y simplificando el resultado es:

du/dx-1/x u=-x

Después para obtener el factor integrante para esta ecuación lineal tomamos en, (0,∞), siendo lo siguiente:

e^(-∫▒dx/x)=e^(-ln⁡x )=e^ln⁡〖x^(-1) 〗 =x^(-1)

Integrando:

d/dx=[x^(-1) u]=-1

Se obtiene x^(-1) u=-x+c o u=-x^2+cx. Puesto que u=y^(-1), tenemos que y=1/u así una solución de la ecuación dada es y=1/(-x^2+cx).

Nota: no hemos obtenido una solución general de la ecuación diferencial no lineal original del ejemplo ya que y=0 es una solución singular de la ecuación.

La Ecuación de Bernoulli. (Cimbala)

La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, velocidad y elevación y es valida en condiciones de estado estacionario, flujo incompresible, donde la fuerza friccional neta es despreciable.

Ver figura.

Considere el movimiento de una partícula de fluido en un campo de flujo en estado estacionario. Aplicando la segunda ley del movimiento de Newton (ecuación de momentum lineal) en la dirección s, sobre

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