Ecuación del oscilador amortiguado

Ecuación del oscilador amortiguado

La segunda ley de Newton para un oscilador armónico con amortiguamiento viscoso (en una dimensión) se escribe entonces

Pasando todo al primer miembro

Aplicando que la velocidad y la aceleración son las primera y segunda derivadas respecto al tiempo de la elongación nos queda la ecuación diferencial

Dividiendo por la masa de la partícula podemos escribirla como

Esta es la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado. La constante

es la frecuencia propia del oscilador. Equivale a la frecuencia natural con la que oscilaría el resorte si no tuviera rozamiento. Como veremos, la presencia de rozamiento reduce la frecuencia de las oscilaciones.

La segunda constante

es la constante de amortiguamiento. Mide la magnitud de la fricción, siendo mayor cuanto más intensa sea ésta.

Tanto la frecuencia propia ω0 como la constante de amortiguamiento β tienen dimensiones de inversa de un tiempo y se miden en s−1 en el SI.

Solución de la ecuación

Caracterización de las soluciones

Antes de examinar la solución matemática de la ecuación diferencial, podemos describir como deberían ser las soluciones.

• Si el rozamiento es pequeño, debemos esperar que el resorte oscile paro con una amplitud decreciente, hasta que pasado un cierto tiempo se quede en reposo en la posición de equilibrio.

• Si el rozamiento es muy grande, en cambio, esperamos que no llegue a oscilar, sino que simplemente se va moviendo lentamente hasta la posición de equilibrio.

En física siempre que una magnitud se considera grande o pequeña hay que decir comparada con qué, cuál es el patrón en que nos basamos para decir si algo es grande o pequeño. En este caso aprovechamos que tanto β como ω0 tienen las mismas dimensiones y por tanto se pueden comparar. Establecemos entonces el criterio

• Rozamiento débil: β < ω0

• Rozamiento intenso: β > ω0

La solución matemática debe reflejar por tanto un cambio de comportamiento dependiendo de como sea la constante de amortiguamiento comparada con la frecuencia propia.

4.2 Solución matemática

Debemos resolver la ecuación diferencial

con ciertas condiciones iniciales

Esta ecuación diferencial es de las llamadas lineales (la elongación y sus derivadas no están elevadas a ninguna potencia). Para buscar una solución de una ecuación de este tipo proponemos una solución exponencial

Derivando esta función

y sustituyendo en la ecuación diferencial

Puesto que la exponencial nunca puede anularse debe cumplirse que

Esta ya no es una ecuación diferencial. Es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones nos dan los valores posibles de λ. Puesto que existen dos valores, la solución de la ecuación diferencial se escribe como la combinación

donde c1 y c2 son dos constantes cuyos valores se calculan a partir de las condiciones iniciales.

Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las soluciones

Vemos que, como se dijo antes, dependiendo del valor de β hay tres posibilidades, dependiendo del signo de lo que hay dentro de la raíz cuadrada

• Si β > ω0 las dos soluciones son reales y diferentes (caso sobreamortiguado).

• Si β = ω0 existe una solución real doble (amortiguamiento crítico).

• Si β < ω0 las dos soluciones son complejas conjugadas (caso subamortiguado).

Cada uno de estos casos merece un estudio por separado.

Caso sobreamortiguado (β > ω0)

Consideraremos en primer lugar el caso de rozamiento intenso

En este caso las dos raíces de la ecuación son reales y además negativas

(para ver que la primera es negativa basta con observar que la raíz es menor que β). La solución de la ecuación diferencial es entonces una suma de dos exponenciales decrecientes

Puesto que | λ2 | > | λ1 | la segunda exponencial decae más rápidamente, y es la primera de las dos la que determina el tiempo en decaer.

Caso subamortiguado (β < ω0)

El caso opuesto al anterior lo obtenemos cuando el rozamiento es débil (incluyendo el caso en que no hay rozamiento).

Si llamamos

podemos

...