Ejemplo Análisis de Función
Enviado por Noemi Escobilla Ricaño • 22 de Agosto de 2023 • Tareas • 871 Palabras (4 Páginas) • 28 Visitas
2) Construir y analizar totalmente una función racional que tenga las siguientes características:
- Asíntota horizontal cuya ecuación es: [pic 1]
- Asíntotas verticales con ecuaciones: [pic 2]
- Que una porción de la gráfica de la función interseque al eje X en dos puntos fuera del intervalo delimitado por las asíntotas verticales.
Gráficamente, se tiene:
[pic 3]
Procedimiento:
Se construye la función racional que satisface las condiciones antes mencionadas; para tal efecto, se tiene:
[pic 4]
[pic 5]
- Dominio
Por tratarse de una función racional, para calcular el dominio el polinomio del denominador se iguala a cero y se resuelve; es decir,
El denominador se iguala a cero y se resuelve:
[pic 6]
[pic 7]
Puesto que para estos valores de la función es igual a infinito, se tiene:[pic 8]
Domino: [pic 9]
- Simetría
En ambos polinomios de la función racional se tienen exponentes pares e impares; en consecuencia, la función no tiene paridad o no es simétrica con el eje Y (paridad par) ni con el origen (paridad impar).
- Intersección con los ejes coordenados
Con el eje “Y”:
Se resuelve . [pic 10]
[pic 11]
De manera directa, la intersección con el eje Y se obtiene considerando solamente los términos independientes de ambos polinomios; es decir,
[pic 12]
Punto de intersección con el eje Y: [pic 13]
Con el eje “X”
Se resuelve [pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Puntos de intersección con el eje X: [pic 17]
- Asíntotas
Asíntotas verticales (A.V):
Como el polinomio del denominador se anula en , , entonces, se tiene:[pic 18][pic 19]
[pic 20]
Por lo tanto, existen dos asíntotas verticales, a saber,
[pic 21]
Asíntotas Horizontales (A.H):
Como ambos polinomios son del mismo grado, existe una asíntota horizontal cuya ecuación se obtiene como sigue:
Dividiendo los coeficientes de los términos de mayor grado (2 y 1) de ambos polinomios, se obtiene:
[pic 22]
Entonces:[pic 23]
Asíntota Oblicua (A.O):
Como no pueden coexistir una asíntota horizontal y una oblicua, entonces la función dada carece de asíntota oblicua.
Lo que sigue es calcular las restantes características de la función en las que se requiere de la derivada.
- Puntos críticos máximos y mínimos.
Igualando a cero la primera derivada y resolviendo, se tiene:
[pic 24]
[pic 25]
Simplificando:
[pic 26]
Finalmente, reduciendo términos semejantes se obtiene la derivada de la función; a saber,
[pic 27]
Igualando a cero y resolviendo:
[pic 28]
Dividiendo entre 2, se obtiene:
[pic 29]
Como se tiene una ecuación no lineal de segundo grado, es posible que se tengan dos raíces reales o dos raíces complejas conjugadas.
Utilizando la fórmula general, se tiene:
[pic 30]
[pic 31]
Separando raíces, se obtienen las abscisas críticas de dos puntos críticos; a saber:
[pic 32]
[pic 33]
Uno de ellos corresponde a un punto máximo y el otro a un punto mínimo, cuyas ordenadas críticas se obtienen al sustituir dichos valores en la función racional propuesta; es decir,
[pic 34]
[pic 35]
De esta manera, se tienen los puntos críticos:
...