Ejemplos función cuadrática, constante, lineal

Clasificación de las funciones

De acuerdo a su naturaleza, es decir a su forma o estructura, las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes. Las funciones algebraicas como su nombre lo indica, provienen del algebra, es decir los polinomios, fracciones algebraicas, potencias y radicales. Las trascendentes son cualquier función no algebraica, tales como las trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y especiales.

Ejemplos de funciones algebraicas son: h\left(x\right)=x^3+5x-2,\ \ y=\frac{3x}{x-4},\ f\left(x\right)=\sqrt{x-7},\ y=4, de funciones trascendentes son: f\left(x\right)=sen4x,\ \ y=\log\funcapply(x^2+7),\ \ y=e^{4x+3},\ \ y=lnx.

Intersecciones.

Al representar gráficamente una función, se les llama intersecciones con el eje al punto o coordenadas donde cruza el eje x y el eje y, es decir donde x y y son cero. Para determinar las intersecciones en el eje x de una gráfica, se iguala y a cero y se despeja x de la ecuación resultante, por lo que una coordenada de la forma (a,0) es una intersección en x. A las intersecciones en el eje x se les conoce también como ceros o raíces de una ecuación. De la misma manera, para determinar las intersecciones en el eje y de una gráfica, se iguala x a cero y se despeja y de la ecuación resultante, por lo que una coordenada de la forma (a,0) es una intersección en x, ver figura 2.3.

Tales puntos de intersección no solo son útiles para representar gráficamente una función, sino para analizar su dominio, rango o comportamiento.

Ejemplo 1. Encontrar las intersecciones de la función f(x)=x^2-x-6 con los ejes.

Solución

y=x^2-x-6 dado

x^2-x-6=0 intersecciones en x: hacer y=0

(x-3)(x+2)=0 factorizar

x=3,\ \ \ \ x=-2 despejar x

las intersecciones en x son \left(-2,0\right),\ (3,0)

y=x^2-x-6 dado

y=-6 intersecciones en y: hacer x=0

por lo tanto la intersección en y es (0,-6)

las intersecciones se muestran en la figura 2.4

Funciones Algebraicas

Función Polinomial

Es una función cuya regla de correspondencia es un polinomio, es decir, una función de la forma f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots, así f\left(x\right)=a_0 se llama función constante, f\left(x\right)=a_0+a_1x se llama función lineal, etc.

Función Constante

Es de la forma f\left(x\right)=a_0, donde a_0 es cualquier número real. Geométricamente la función constante es una recta horizontal que dista a_0 unidades del eje x. Su dominio es el conjunto de los números reales y su contradominio o rango es el conjunto unitario {a_0}.

Ejemplo 1. Graficar la función constante indicada, mostrar su dominio y rango.

f(x)=2

Solución

Sea y=2, si procedemos con la tabulación correspondiente, nos daremos cuenta que para cualquier valor de x, el valor de y siempre será 2.

\ \ \ \ \ \ \ y=2

x y

-2 2

-1 2

0 2

1 2

2 2

Figura 2.10 función constante y=2

Recta horizontal que dista a 4 unidades del eje x

dominio: Dom=\left(-\infty,\infty\right)=R

contradominio: Rango={2}.

f\left(x\right)=-3

Solución

recta horizontal que dista a 3 unidades por debajo del eje x

dominio: Dom=\left(-\infty,\infty\right)=R

contradominio: Rango={-3}

Figura 2.11 Función constante y=2

Función Lineal

Es de la forma f\left(x\right)=a_0+a_1x, donde x es cualquier número real, a_0 y a_1son constantes. Geométricamente la función lineal es una línea recta cuya estructura general es y=mx+b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen (intersección en el eje y), su ángulo de inclinación viene dado por Tan\ \theta=m. Su dominio y contradominio es el conjunto de los números reales.

Ejemplo 1. Para la función lineal f\left(x\right)=3x-6, determinar: sus intersecciones, pendiente, ángulo de inclinación, gráfica, domino y rango.

Solución

Intersecciones

y=3x-6 dado

3x-6=0 intersecciones en x: hacer y=0

x=\frac{6}{3} despejar x

x=2 simplificar

las intersecciones en x son \left(2,0\right)

y=3x-6 dado

y=-6 intersecciones en y: hacer x=0

por lo tanto la intersección en y es (0,-6)

Pendiente y ángulo de inclinación

A partir de la estructura general de la función lineal y=mx+b, se tiene

m=3

con un ángulo de inclinación

\theta=Tan^{-1}(3)

\theta=71°33'

Gráfica

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