Funciones lineal y cuadratica

“FUNCIONES”

• Función Lineal[pic 1]

Es una función cuyo Dominio son todos los números reales, cuyo Rango son también todos los números reales y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

y = 0,5 x + 2    &     y = –x + 5

• Función Cuadrática

También conocidas como “Funciones de Segundo Grado” que son funciones polinómicas definidas por:[pic 2]

y = a x2 + b x + c

Ejemplo 1

Dada la función:

[pic 3]

Ejemplo 2[pic 4]

Dada la función:

[pic 5]

• Función Polinomial

Funciones Polinomiales de grado 3

Es toda aquella función que se puede escribir de la forma:[pic 6]

y = a3 x3 + a2 x2 + a x + a

Este tipo de funciones también se conocen como funciones cubicas.

Ejemplo 1

y = x3

• Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función Polinomial es el conjunto de números reales
• El rango se calcula: Observando que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también y cuando x es negativo el resultado de elevarlo al cubo es negativo.
• El rango también es el conjunto de números reales porque cuando x crece mucho los resultados de elevarlos al cubo también crecen
• Esto mismo para los valores tanto positivos como negativos

Ejemplo 2[pic 7]

y = x3 – 3

• De nuevo el dominio es el conjunto de reales así como del rango.
• Y esto ocurre con los valores negativos:

Funciones Polinomiales de grado 4

Es una función de la fórmula:

f (x) = a x4 + b x3 + c x2 + d x + e

• b , c , d y e son números reales
• En una función cuartica el Dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde -∞ hasta  ∞ 
• Los parámetros en el caso de que sea “a” positivo, la función tiende infinitamente hacia arriba en cambio si el parámetro “a” es negativo la función tiende infinitamente hacia abajo.[pic 8]

Ejemplo 1

f (x) = -3x (+2)4 + 4

Funciones Polinomiales de grado 6[pic 9]

En matemáticas, una ecuación de sexto grado o ecuación séxtica es una ecuación polinómica de grado seis. Tiene la forma:

[pic 10]

• Funciones Radicales

Son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical.[pic 11]

En primer lugar, tenemos que determinar el dominio de definición de la función, que como ya sabemos, por tratarse de una raíz cuadrada serán todos los valores de x que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero: ax+b≥0, luego serán todos los valores de x tales que: x≥-b/a, (recordar llevar cuidado a la hora de despejar la x, porque como ya sabemos en las inecuaciones si a es negativa cambia el signo de la desigualdad).
Como podemos ver en la siguiente representación, cuyo dominio es x≥-2, y es una función positiva.

• Función Racional

Es una función que puede ser expresada de la forma:

[pic 12]

Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador. Obviamente esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

[pic 14] [pic 15]

• Función Exponencial

En términos más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

[pic 17]

Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Dominio: [pic 18]

Ejemplo 1                                                                      Ejemplo 2

 [pic 19][pic 20]

[pic 21][pic 22]

• Función Logarítmica

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a:[pic 23]

[pic 24]

Dominio: R +

Recorrido: R

• Función Valor Absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

[pic 25]                                                                                    [pic 26]

[pic 27]                       [pic 28]

                                        D = R                                                                                         D = R

• Funciones Signo [pic 29]

Es una función matemática especial, una función definida a trozos, que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn (x), y no debe confundirse con la función seno o bien sin(x).

La función signo puede definirse de las siguientes maneras. Donde su dominio de definición es R:

• Función Escalón Unitario

Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, que se define de esta forma:

[pic 30]

Ejemplo 1                                                              Ejemplo 2

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