Función lineal

La siguiente tabla muestra la altura (en centímetros)

Las variables utilizadas son la altura medida en centímetros, contra los años, que van desde 1932 hasta 1980, excluyendo 1940 y 1944. La altura mínima alcanzada en este intervalo de años fue en 1932 logrando 197 cm. La altura máxima fue en 1980 con 236 cm.

Es una función lineal donde intervienen variables explicativas de una variable dependiente que en este caso es la altura, como la variable explicativa es el tiempo, lo que hace este modelo es explicar la tendencia de los cambios en la altura saltada con el paso de los años

2.

Los parámetros que intervienen en el modelo son la pendiente y el punto de corte, es un modelo de regresión lineal simple, por lo que es una ecuación lineal donde se saca la tendencia de la altura en centímetros a través del tiempo. La función es la siguiente.

〖Altura〗_t=β_0+β_1 t+β_1 t^2+β_1 t^3+β_1 t^4+β_1 t^5+ε_t

Donde β_0 es la intersección, β_1,β_2,β_3,β_4 y β_5 es las variables que explican la tendencia y ε_t es el término de error, una perturbación aleatoria que me aleja los puntos de la recta. La variable tiempo la saque al normalizar los años, al decir que el primer año es el numero 1 y cuatro años después el numero 2 y así sucesivamente. Escogí esta ecuación porque me saca la tendencia creciente, de cuanto a mejorado los resultados de este deporte con el paso de los años.

Lo que me da el siguiente resultado al graficarlo con los datos que tengo

Como se puede ver los errores son mínimos, estos son la diferencia entre la original y la estimada. Las limitaciones del modelo son estos errores, pero como son mínimos este es el mejor modelo posible. Es posible que haya mayor precisión con mayor cantidad de datos.

Los betas los sacamos de la siguiente manera, con una ecuación producto de una minimización

〖〖(X〗^' X)〗^(-1) X^' Y=β

En este caso la matriz X es una matriz conformada por unos en la primera hilera y en las siguientes hileras por las variables t,t^2,t^3,t^4 y〖 t〗^5, la matriz Y esta conformada por la variable Altura, y β es una matriz que esta conformada por los betas.

La ecuación resultante sería

〖Altura〗_t=174,68+36,13t-16,41t^2+3,10t^3-0,2504t^4+0,0072t^5+ε_t

4.

El otro modelo que utilizamos es una regresión simple ecuación es la de una línea recta la cual relaciona el punto de corte (β_0) y la pendiente(β_1), para sacarlos se hace a partir del método de mínimos cuadrados ordinarios, es decir, se hace un proceso de minimización de la suma de los errores al cuadrado, es decir se trata de hacer la recta que se asemeje mas los datos obtenidos, y donde los errores sean mínimos. Las ecuaciones que resultan de este proceso son:

β_1=(∑▒t*∑▒altura-n∑▒〖t*altura〗)/(〖(∑▒〖t)〗〗^2-n∑▒t^2 )

Siendo n el número de datos, y

β_0=(∑▒altura-β_1 ∑▒t)/n

Aplicando las formulas tenemos que

β_1=(75*2356-11*16496)/(〖(75)〗^2-11*641)

β_1=3,33520336605891

β_0=(2356-3,33520336605891*75)/11

β_0=191,441795231417

Con lo que la ecuación que me modela los datos es

〖Altura〗_t=191,441795231417+3,33520336605891t+ε_t

3.

Para modelar la función de mi modelo voy suponer que no tengo los términos de error con lo que modele seria

〖Altura〗_t=191,441795231417+3,33520336605891t

Ambos muestran la tendencia de la altura saltada, pero el modelo que escogimos tiene una suma de residuos al cuadrado menor por lo que el modelo predice con mayor fiabilidad que el modelo de regresión lineal simple.

Observada Estimada Polinomial Estimada Lineal Simple Residuos Polinomial Residuos Lineal Simple

197 197,272378 194,7769986 -0,27237828 2,2230014

203 202,386429 198,112202 0,61357133 4,88779804

198 199,586965 204,7826087 -1,58696537 -6,7826087

204 203,627606 208,1178121 0,372394155 -4,11781206

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