El concepto de espacio vectorial

Espacio vectorial

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

SUB ESPACIO VECTORIAL

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Si W es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un

Subespacio de V Si W es un subespacio vectorial de V entonces el conjunto W con las operaciones + y∙, inducidas de la suma y el producto por escalares de V, es un espacio vectorial.

Espacios vectoriales: cambio de base

Muchas de las aplicaciones del álgebra lineal a la física, ingeniería, ciencias sociales, etc., pueden formularse de manera sencilla si se elige el sistema de coordenadas apropiado. También, los problemas de espacios vectoriales pueden simplificarse eligiendo una base adecuada. En la clase de hoy estudiaremos las coordenadas de un vector con respecto a una base fija, veremos que esas coordenadas cambian al cambiar la base del espacio y estudiaremos las relaciones que vinculan las coordenadas de un vector con respecto a diferentes bases.

Empezaremos con un ejemplo; tomemos B = {(1, 0,-1), (-1, 1,0), (1, 1,1)} como base de Â3 y w = (2,-3,4) un vector en Â3. Expresaremos w como combinación lineal de B.

Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces.

Propiedades:

I.- (V, V) ≥ 0

II. -(V, V) = 0 SI Y SÓLO SI V = 0.

III, -(U, V +W) = (U, V)+ (U, W)

IV. -(U + V, W) = (U, W)+ (V, W)

V. -(U, V) = (V, U)

VI. -(ΑU, V) = Α (U, V)

VII. -(U, ΑV) = Α (U, V)

LA BARRA EN LAS CONDICIONES (V) Y (VII) DENOTA EL CONJUGADO COMPLEJO.

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano vector u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Base ortogonal y base ortonormal

Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt.

Una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Gilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de

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