El objetivo principal del teorema matemático de análisis

Desarrollo de la práctica:

1.- Con respecto al video del Teorema Fundamental del cálculo que aparece en la explicación del tema 6 y 7 contesta las siguientes preguntas:

El Teorema Fundamental del Cálculo nos sirve para: demostrar que la derivada es la inversa a la integral y viceversa. Y con esto, obtener numerosas aplicaciones como encontrar el área bajo la curva, relación de cambio, etc. Por eso para resolver una integral definida primero debemos de: resolver la integral propuesta y luego: a la solución de la integral se debe de resolver aplicando los limites. Límite superior menos límite inferior para finalmente encontrar el valor exacto de dicha integral definida.

= 0. Este valor representa el área de una región: ya que se resolvió la integral y se aplicaron los limites, se podría causar incertidumbre que el área de algo existente sea 0. Por qué: pero esto se debe a que si se grafica la función, se observan 2 areas divididas por el eje y, sin embargo un área es positiva y la otra es negativa, ambas de mismo valor. Al sumarse se cancelan dando como resultado 0.

Para dar respuesta a la pregunta: ¿cuánto más constará incrementar la producción a 100 unidades por semana?, debemos integrar: dC/dq=qlnq ya que esta función representa el costo marginal de un fabricante.

El método de integración que debemos utilizar para resolver esta integral es: por partes ya que se está manejando una: multiplicación de funciones. Utilizando el acrónimo: LATE para seleccionar u tenemos que u = lnq du: dq/q y dv: qdq con v = q2/2.

2.- Investiga en tu libro de texto u alguna otra fuente: el tema de “integración de fracciones parciales”

La integración por fracciones parciales es un método de resolver ecuaciones donde se involucran una división de dos funciones, generalmente de grado igual o mayor a 2.

Al tener la función racional el primer paso es simplificar la ecuación, primero se debe observar si es factorizable, ya que esto en la mayoría de los casos reduce el trabajo. Si no es factorizable, el siguiente paso es observar si se trata de una fracción impropia, esto quiere decir que el grado del numerador es mayor al denominador, como en el modulo pasado se utiliza la división sintética para reducir y obtener la función cociente Q(x) mas su residuo.

Se debe tener en cuenta que si se quiere aplicar el método de fracciones parciales, el denominador debe ser factorizable, de lo contrario no se puede aplicar el método. Al factorizar se pueden tener numerosos términos como: factores lineales distintos o repetidos, factores cuadráticos irreducibles distintos y repetidos. A continuación se planteara un ejemplo.

∫▒〖(4x^2-14x-6)/(x^3-2x^2-3x) dx 〗

Primero se debe factorizar el denominador de la siguiente forma:

x^3-2x^2-3x=x(x^2-2x-3)=x(x-3)(x+1)

Obteniendo la integral de la siguiente forma:

∫▒〖(4x^2-14x-6)/(x(x-3)(x+1)) dx〗

El número de términos en el denominador es el número de fracciones que se obtendrán, que nos dará la misma cantidad de incógnitas a resolver. En el caso que se tenga un término repetido por ejemplo x3: este término equivale a 3. Es decir se tendrán tres fracciones como se muestra:

∫▒〖1/x^3 dx〗=∫▒〖A/x+B/x^2 +C/x^3 〗

Regresando al ejemplo anterior, la fracción se transformara de la siguiente manera:

(4x^2-14x-6)/x(x-3)(x+1) =A/x+B/(x-3)+C/(x+1)

Para eliminar los denominadores se multiplica ambos lados por el denominador dando lo siguiente:

4x^2-14x-6=A(x^2-2x-3)+B(x^2+x)+C(x^2-3x)

Aquí se construye un sistema de ecuaciones donde se agrupan coeficientes con mismo término, por ejemplo el término x2 del lazo izquierdo tiene el coeficiente 4 y del lado derecho cuenta con A, B y C. Y así sucesivamente.

A+B+C=4

-2A+B-3C=-14

-3A=-6

Al resolverlo se sabe que A=2, B=-1 y C=3. Estas incógnitas se introducen a las fracciones parciales y ahora se obtienen integrales mucho más fáciles de resolver quedando de la siguiente manera.

∫▒〖(4x^2-14x-6)/x(x-3)(x+1) =∫▒〖2/x-1/(x-3)+3/(x+1)=2lnx-ln⁡(x-3)+3 ln⁡(x+1)+c〗〗

3.- Resuelve las siguientes integrales indefinidas, aplicando el método de fracciones parciales.

a) ∫▒〖(7x+29)/(x^2+8x+15) dx〗

x^2+8x+15=(x+5)(x+3)

(7x+29)/((x+5)(x+3))=A/(x+5)+B/(x+3) →7x+29=A(x+3)+B(x+5)

A+B=7

3A+5B=29

Se obtiene que A=3 y B=4.

∫▒〖3/(x+5)+4/(x+3)〗

Resolviendo la integral la solución es:

=3ln⁡(x+5)+4ln⁡(x+3)+c

b)∫▒dy/(16y-y^3 )

16y-y^3=y(16-y^2 )=y(4-y)(4+y)

1/y(4+y)(4-y) =A/y+B/(4-y)+C/(4+y) →1=A(4-y)(4+y)+By(4+y)+Cy(4-y)

-A+B-C=0

4B+4C=0

16A=1

Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene que A=1/16, B=-1/32 y C=1/32.

∫▒〖1/16y+1/32(y-4) +1/32(y+4) dx〗

Resolviendo la integral la solución es:

=1/16 lny+1/32 ln⁡(y-4)+1/32 ln⁡(y+4)+c

c) ∫▒〖(x^4-8)/(x^3+2x^2 ) dx〗

Primero se realiza una división de polinomios obteniendo el siguiente resultado,

∫▒〖(x^4-8)/(x^3+2x^2 ) dx=∫▒〖x-2+(4x^2-8)/(x^3+2x^2 )〗〗

x^3+2x^2=x^2 (x+2)

(4x^2-8)/(x^2 (x+2) )=A/x+B/x^2 +C/(x+2)→4x^2-8=Ax(x+2)+B(x+2)+Cx^2

A+B+C=4

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