Elección De Las Ruedas Para Formar El Tren De Engranajes

Elección de las ruedas para formar el tren de engranajes

Generalmente se plantea en el cálculo de un tren de engranajes el problema de hallar un tren que proporcione la aproximación máxima posible, o dentro de una tolerancia predeterminada, a una relación de transmisión imposible de seguir con absoluta exactitud.

Normalmente, el valor ideal de la relación de transmisión total se puede calcular por los datos del problema, pero si se reduce a un decimal o fracción impropia, los números que representan el numerador y el denominador pueden ser tan grandes que resulten inútiles o que no sean susceptibles de descomponerse en factores que puedan ser adecuadamente empleados para los números respectivos de los dientes en un tren de engranajes.

El problema general consiste en hallar otra fracción que se aproxime lo suficiente al resultado preciso y que tenga un numerador y denominador conveniente. No existe forma directa alguna de enfocar este problema y han de emplearse métodos indirectos.

Estos métodos implican siempre un proceso de comprobación y con el fin de reducir el trabajo y garantizar la elección de la fracción más adecuada entre la multitud posible de ellas, se precisa manejar con cierta facilidad las propiedades de las fracciones.

Una de las posibilidades a emplear está dada por las fracciones continuas, que nos dice que una relación cualquiera se puede expresar por una serie de fracciones continuas de la forma:

donde bn es el cociente obtenido dividiendo cada resto por el divisor anterior.

Estos cocientes dan una serie de fracciones:

; ; … ; J

que se aproximan más exactamente a J, cuando se aumenta el número de términos.

Los valores de las fracciones sucesivas se obtienen por:

; ; ; ;

Hay dos propiedade3s importantes de las fracciones:

1) Todas las fracciones que corresponden a los cocientes b1, b3, b5, etc., son mayores que J y disminuyen como avanza la serie.

2) Todas las fracciones que corresponden a los cocientes b2, b4, etc., son más pequeños que J y aumentan como la serie avanza.

Por lo tanto, la serie reajustada en la forma

; ; … J … ; ;

está en orden descendente de valor numérico; las fracciones sucesivas en su orden original son conjugadas y por consiguiente, las fracciones finales de cada lado de J son conjugadas. Un ejemplo numérico facilitará la comprensión.

Supongamos tener que transmitir la siguiente relación de transmisión 0,35135 o expresado en forma de fracción 13/37 y deseamos encontrar otra fracción que en forma aproximada le sea equivalente.

Desarrollando en forma de fracción continua:

las fracciones a, b y c son las reducidas cuyo valor son los siguientes (despreciando el último cociente)

Cada una de éstas reducidas, tomadas como valor aproximado de la fracción real produce el siguiente error:

El error de la c) es despreciable, amenos que se necesite gran precisión, por lo tanto pueden formarse las siguientes combinaciones de dos y tres ejes:

Con dos ejes:

Con tres ejes:

El cómputo efectivo de cualquier relación puede realizarse más cómodamente en forma tabular. Por ejemplo, encontrar la fracción que en forma muy aproximada transmita la siguiente relación: 0,3937 que en forma de fracción sería: 3937/10000.

b p q p/q

3937 10000

2 1 2 1/2

2126 3937

1 1 1x2+1=3 1/3

1811 2126

1 1x1+1=2 1x3+2=5 2/5

315 1811

5 5x2+1=11 5x5+3=28 11/28

236 315

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