Espacios Vectoriales

INDICE

TEMA PÁG

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………….3

1.- Espacios vectoriales…………………….……………….…………………………4

2.- Sub-espacios vectoriales y sus propiedades…………….………………………6

3.- Combinación lineal e independencia lineal……………….……………………...8

4.- Bases y dimensión de un espacio vectorial……………………………………..11

5.- Espacios vectoriales con producto interno………………………………………15

INTRODUCCIÓN

Aquí veremos la estructura del espacio vectorial que se refiere básicamente las propiedades de los vectores y es aplicable a matrices, polinomios y a las funciones y que permite identificar matrices como vectores, y resolver múltiples problemas geométricos.

En el trabajo aquí presentado es un resumen en el que nos enfocaremos al estudio de los espacios vectoriales, para ello comenzaremos por definir lo que es un espacio vectorial, a su vez se explica lo que es un sub espacio vectorial y la relación entre ambos, posteriormente se presentan temas como la combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión de un espacio vectorial, y Espacios vectoriales con producto interno y sus propiedades, esto con el fin de adentrar más al tema, y hacer un análisis más detallado a lo que se refiere un espacio vectorial.

1.- ESPACIOS VECTORIALES

1.- Definición.

Un vector es una magnitud que consta de un modulo (longitud), una dirección y un sentido.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacio de V objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a axiomas(o reglas) que se dan a continuación. Sea E un espacio vacío y K un cuerpo, se dice que la terna (E,+,*) es un espacio vectorial definido sobre K si se cumple lo siguiente:

+ es una ley de composición interna que cumple:

a1) Asociativa

(v1+v2) + v3= v1 + (v2+v3) v1,v2,v3 € E

a2) Elemento neutro

v + 0 = 0 + v = v v € E

a3) Elemento inverso

v + (-v) = (-v) + v = 0 v€ E

a4) Conmutativa

v1 + v2 = v2 + v1 v1,v2 € E

* es una ley de composición externa que cumple:

b1) Distributiva respecto a la suma de escalares

(k1+k2) v = k1v + k2v v € E k1, k2 € K

b2) Distributiva respecto a la suma de vectores

k (v1+v2) = kv1 + kv2 v1,v2 € E , k € K

b3) Asociativa mixta

k1k2 (v) = k1 (k2v) v € E , k1,k2 € K

b4) 1*v= v v € E

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación, operación> (un cuerpo).para comprobar que determinado conjunto en un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar.

Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, también conocido por espacio n-dimensional y se denota por Rn este es una sucesión de n números reales por ejemplo (a1,a2,…2n) donde los vectores Rn se clasifican así:

R1 = espacio unidimensional, línea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.

Ejemplo:

En un espacio vectorial {V,k}, el vector v4 tiene como coordenadas (1,2,1) respecto a los vectores {v1,v2,v3}

Dese las coordenadas del vector v3 respecto a {v1,v2,v3}

Sabemos que v4 tiene como coordenadas (1,2,1) respecto a {v1,v2,v3} . Es decir, v4 = v1 + 2v2 + v3

Por lo tanto, respecto a {v1,v2,v4}, v3 tendrá como coordenadas:

v3 = v4 – v1 -2v2

Dese las coordenadas del vector v2 respecto a {v1,v2,v3}

Basta con ver como escribimos v2 respecto a esos vectores mediante una combinación lineal, la cual sería:

v2= 0v1+v2+0v3

por tanto las coordenadas serian (0, 1, 0)

2.- Sub-espacios vectoriales y sus propiedades

Un sub-espacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

En otras palabras un sub-espacio vectorial es un espacio vectorial contenido en otro sub-espacio vectorial más grande.

Sea H un subconjunto de E, H E

Decimos que H es un sub-espacio vectorial de E si y solo si:

0€ H

Cumple simultáneamente

b1) v1, v2 € H  v1+v2€H

b2) v1€H, k € K  V1 € H

Las dos condiciones del apartado se pueden reunir en una sola:

v1, v2 € H, k1, k2 € K se cumplen que k2v1 + k1v2 € H

Operaciones con sub-espacios

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) sub-espacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión

S ᴜ W = [X € V/X € S ˅ X € W]

En la gran mayoría de los casos la unión de dos sub-espacios no es un sub-espacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

Intersección

S ∩ W=[X€ V/X € S ˄ X W]

La intersección de dos sub-espacios es un sub-espacio de V.

Suma

S+W=[X € V/ X =(X1+X2)˄ X1 € S ˄ X2 € W]

La suma de dos sub-espacios es un sub-espacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el sub-espacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa”.

Es decir que si

S ∩ W = 0  S ϴ W

Lo que quiere decir también que todo vector de V, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

3.- Combinación lineal e independencia lineal

Definición

Combinación lineal sean V1, V2,………..Vn Vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma:

Donde, a1, a2……, an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…, vn.

Ejemplo: combinación lineal en R3

En R3 (■(-7@7@7)) es una combinación lineal de (■(-1@2@4)) y (■(5@-3@1)) ya que (■(-7@7@7)) = 2 (■(-1@2@4)) - (■(5@-3@1))

Ejemplo de combinación lineal en M23

En M23, (■(-3&2&8@-1&9&3)) = 3 (■(-1&0&4@1&1&5)) + 2 (■(0&1&-2@-2&3&-6)), lo que muestra que (■(-3&2&8@-1&9&3)) es una combinación lineal de (■(-1&0&4@1&1&5)) y (■(0&1&-2@-2&3&-6)).

Ejemplo de combinaciones lineales en Pn

En Pn todo polinomio se puede escribir como una combinación lineal de los “monomios” 1, x, x2,……, xn.

2da Definición

Conjunto generador

Se dice que los vectores v1, v2,…, vn. de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo V Є V existen escalares a1, a2……, an tales que

Ejemplo de conjunto de vectores que generan R2 y R3

i = (■(1@0)) j = (■(0@1)) generan R2

Mientras que i = (■(1@0@0)), j = (■(0@1@0)), k = (■(0@0@1)) generan R3

Ejemplo cuatro vectores que generan a M22

Como (■(a&b@c&d)) = a (■(1&0@0&0)) + b (■(0&1@0&0)) + c (■(0&0@1&0)) + d (■(0&0@0&1)), vemos que (■(1&0@0&0)), (■(0&1@0&0)), (■(0&0@1&0)), (■(0&0@0&1)) generan a M22

Ningun numero finito de polinomios generan a P

Sea P el espacio vectorial de polinomios. Entonces ningún conjunto finito de polinomios generan a P. Para ver esto suponga que p1, p2,….. pm son polinomios. Sea pk el polinomio de mayor grado en este conjunto y sea N = grado (pk). Entonces el polinomio p(x) = xN+1 no se puede escribir como una combinación lineal de p1, p2,….. pm. Por ejemplo, si N=3, entonces x4 ≠ C0 + C1X + C2X2 + C3X3 para cualesquiera escalares C0, C1, C2 y C3

Definición

Espacio generado por un conjunto de vectores

Sea v1, v2,…, vk, K vectores de un espacio vectorial V. El espacio generado por {v1, v2,…, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2,…, vk. Es decir

Don de a1, a2……, ak son escalares arbitrarios

Teorema

El espacio generado por vectores es un subespacio vectorial

Si v1, v2,…, vk son vectores de un espacio vectorial

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