Espacios Vectoriales

INDICE

TEMA PÁG

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………….3

1.- Espacios vectoriales…………………….……………….…………………………4

2.- Sub-espacios vectoriales y sus propiedades…………….………………………6

3.- Combinación lineal e independencia lineal……………….……………………...8

4.- Bases y dimensión de un espacio vectorial……………………………………..11

5.- Espacios vectoriales con producto interno………………………………………15

INTRODUCCIÓN

Aquí veremos la estructura del espacio vectorial que se refiere básicamente las propiedades de los vectores y es aplicable a matrices, polinomios y a las funciones y que permite identificar matrices como vectores, y resolver múltiples problemas geométricos.

En el trabajo aquí presentado es un resumen en el que nos enfocaremos al estudio de los espacios vectoriales, para ello comenzaremos por definir lo que es un espacio vectorial, a su vez se explica lo que es un sub espacio vectorial y la relación entre ambos, posteriormente se presentan temas como la combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión de un espacio vectorial, y Espacios vectoriales con producto interno y sus propiedades, esto con el fin de adentrar más al tema, y hacer un análisis más detallado a lo que se refiere un espacio vectorial.

1.- ESPACIOS VECTORIALES

1.- Definición.

Un vector es una magnitud que consta de un modulo (longitud), una dirección y un sentido.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacio de V objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a axiomas(o reglas) que se dan a continuación. Sea E un espacio vacío y K un cuerpo, se dice que la terna (E,+,*) es un espacio vectorial definido sobre K si se cumple lo siguiente:

+ es una ley de composición interna que cumple:

a1) Asociativa

(v1+v2) + v3= v1 + (v2+v3) v1,v2,v3 € E

a2) Elemento neutro

v + 0 = 0 + v = v v € E

a3) Elemento inverso

v + (-v) = (-v) + v = 0 v€ E

a4) Conmutativa

v1 + v2 = v2 + v1 v1,v2 € E

* es una ley de composición externa que cumple:

b1) Distributiva respecto a la suma de escalares

(k1+k2) v = k1v + k2v v € E k1, k2 € K

b2) Distributiva respecto a la suma de vectores

k (v1+v2) = kv1 + kv2 v1,v2 € E , k € K

b3) Asociativa mixta

k1k2 (v) = k1 (k2v) v € E , k1,k2 € K

b4) 1*v= v v € E

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación, operación> (un cuerpo).para comprobar que determinado conjunto en un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar.

Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, también conocido por espacio n-dimensional y se denota por Rn este es una sucesión de n números reales por ejemplo (a1,a2,…2n) donde los vectores Rn se clasifican así:

R1 = espacio unidimensional, línea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.

Ejemplo:

En un espacio vectorial {V,k}, el vector v4 tiene como coordenadas (1,2,1) respecto a los vectores {v1,v2,v3}

Dese las coordenadas del vector v3 respecto a {v1,v2,v3}

Sabemos que v4 tiene como coordenadas (1,2,1) respecto a {v1,v2,v3} . Es decir, v4 = v1 + 2v2 + v3

Por lo tanto, respecto a {v1,v2,v4}, v3 tendrá como coordenadas:

v3 = v4 – v1 -2v2

Dese las coordenadas del vector v2 respecto a {v1,v2,v3}

Basta con ver como escribimos v2 respecto a esos vectores mediante una combinación lineal, la cual sería:

v2= 0v1+v2+0v3

por tanto las coordenadas serian (0, 1, 0)

2.- Sub-espacios vectoriales y sus propiedades

Un sub-espacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

En otras palabras un sub-espacio vectorial es un espacio vectorial contenido en otro sub-espacio vectorial más grande.

Sea H

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