Espacios Vectoriales

Define Espacio Vectorial Real. Enuncia los Axiomas que determinan que un conjunto de objetos, con las operaciones de Suma y Multiplicación por un escalar, sea un Espacio Vectorial (E. V.). Presenta cinco ejemplos de Espacios Vectoriales de diferentes naturalezas.

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real V es un conjunto de vectores que tienen dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y satisfacen los siguientes diez axiomas. La palabra real se refiere a que se usan escalares reales.

Axiomas

CERRADURA BAJO LA SUMA: Si x ∈V y y∈V,entonces x+y ∈V

LEY ASOCIATIVA DE LA SUMA DE VECTORES:

para todo x,y y z en V,(x+y)+z=x+(y+z)

EL 0 SE LLAMA VECTOR CERO O IDÉNTICO ADITIVO:

Existe un vector 0 ∈V tal que para todo x ∈V,x+0=0+x=x

-x SE LLAMA INVERSO ADITIVO DE X:

Si x ∈V,existe un vector-x ∈V tal que x+(-x)=0

LEY CONMITATIVA DE LA SUMA DE VECTORES

Si x y y están en V,entonces x+y=y+x

CERRADURA BAJO LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Si x ∈V y α es un escalar,entonces αx ∈V

PRIMERA LEY DISTRIBUTIVA

Si x y y están en V y α es un escalar,entonces α(x+y)=αx+αy

SEGUNDA LEY DISTRIBUTIVA

Si x∈V y α y β son escalares,entonces (α+β)x=αx+βx

LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

Si x∈V y α y β son escalares,entonces α(βx)=(αβ)x

Para cuando el vector x ∈V,1x=x

Ejemplos:

Sea V = {0}. Es decir, V consiste sólo en el número 0. Como 0 + 0 = 1 x 0 = 0 + (0 + 0) = (0 + 0) = , se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuencia se el otorga el nombre de espacio vectorial trivial.

Sea V= C[0,1] = el conjunto de funciones continuas de valores reales definidas ene l intervalo [0, 1]. Se define

(f + g)x = f(x) + g(x) y (αf)(x) = α[f(x)]

Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma 1 se cumple y los otros axiomas se verifican fácilmente con 0 = la función cero y (-f)(x) = -f(x). Del mismo modo, C[a, b], el conjunto de funciones de valores reales definidas y continuas en [a, b], constituye un espacio vectorial.

Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) ∈ R3 pertenezca al sub-espacio {(1, 2, 3), (1, 1, 1)}.

Solución. (1, x, 5) pertenece al sub-espacio {(1, 2, 3), (1, 1, 1)} si y solo si (1, x, 5) es combinación lineal de (1. 2. 3) y (1. 1. 1), o sea, si existen α, β ∈ R tales que

(1, x, 5) = α(1, 2, 3) + β (1, 1, 1)

Pero entonces

1 = α + β

x = 2α + β

5 = 3 α + β

Y resolviendo el sistema anterior, tenemos α = 2, β = −1 y x = 3.

Sea U = {f : R → R|f(x) = f(−x); ∀x ∈ R} y W = {f : R → R|f(x) = −f(−x); ∀x ∈ R}. Probar que F(R;R) = {f : R → R|f es aplicación} es suma directa de U y W.

Solución. Por definición, F(R;R) = U ⊕W si y solo si F(R;R) = U +W y U ∩W = {0F(R;R)}, donde 0F(R;R) denota la aplicación nula.

Comprobemos que F(R;R) = U +W:⊆ Sea f ∈ F(R;R) y definimos g : R → R tal que g(x) = (f(x)+f(−x)/2) y h : R → R tal que h(x) = (f(x)−f(−x)/2) .

Es claro que f = g + h. Además, g ∈ U ya que g(−x) = (f(−x)+f(x)/2) = (f(x)+f(−x)/2) = g(x), para todo x ∈ R y h ∈ W porque h(−x) = (f(−x)−f(x)/2) = (−f(x)−f(−x)/2) = −h(x), para todo x ∈ R. ⊇

Es inmediato porque U;W ⊆ F(R;R).

Por otro lado, si f ∈ U ∩ W, se tiene que f ∈ U y f ∈ W, luego para todo x ∈ R, f(x) = f(−x), por ser f ∈ U y f(x) = −f(−x) por ser f ∈ W.

Entonces, f(x) = f(−x) = −f(x) ⇒ 2f(x) = 0 ⇒ f(x) = 0; esto es f es la aplicación nula.

A pesar que nuestro interés no es hacer demostraciones

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