Estadistica 2

TAREA N.1 - ESTÁDISTICA II

Patrick Joan Vásquez Sarmiento, 20.160.490-7

PROBLEMA I. Parte 1: 

Para determinar la rentabilidad esperada y el riesgo del portafolio se comienza por definir las variables a considerar:

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Dada la composición del portafolio  se tienen las siguientes rentabilidades (valores esperados) y riesgos (desviación estándar) para cierta fracción del presupuesto  .[pic 4][pic 5]

Con  se posee:[pic 6]

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[pic 10]

Con  se posee:[pic 11]

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Con  se posee:[pic 14]

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[pic 16]

Con  se posee:[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Con  se posee:[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Parte 2:

Para determinar el valor de  que minimiza el riesgo del portafolio (varianza mínima) es necesario derivar:[pic 23]

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Parte 3:

Los gráficos construidos a partir de los valores de  , rentabilidad y riesgo (apéndice 1) se encuentran en el apéndice 2, 3 y 4.[pic 27]

El apéndice 2, posee valores de  , y rentabilidad y riesgo. Es posible desprender el como la rentabilidad y riesgo son particulares de cada acción (x ó y), sin embargo, es necesario ver otros gráficos para entender la situación del portafolio en mayor profundidad. En el apéndice 3 se muestra una relación lineal entre  y la rentabilidad, con  mostrando una rentabilidad mayor, debido a que el activo x posee un mayor valor esperado que y. Finalmente, en el apéndice 4 es notorio el beneficio de la diversificación como método para disminuir el riesgo, con una combinación de ambos activos mostrando menor riesgo que con un portafolio compuesto por  solo uno de ellos.[pic 28][pic 29][pic 30]

PROBLEMA II. Parte 1: 

La función de distribución del problema dado es de tipo Poisson, dado que la variable es evaluaciones que un ayudante puede revisar por hora. La función posee un parametro  y sabemos que contamos como muestra a 25 ayudantes. El problema que existe es la posible sobrecarga laboral de los ayudantes y por ello, se evalúa pedir un aumento en el número de ayudantes. La condición para la decisión es:[pic 31]

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Parte 2:

Para obtener el estimador de máxima verosimilitud se comienza por definir una pitatoria c (la probabilidad conjunta) en la ecuación 1 y 2.

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A continuación, aplicamos logaritmo natural en la ecuación 3 para facilitar la posterior derivación y maximización en la ecuación 4 y 5.

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Como resultado de la ecuación 5, obtuvimos que nuestro estimador del parametro  corresponde la media muestral.[pic 39]

De acuerdo con la tabla, la media muestral corresponde a 10. Dado que la muestra fue obtenida de manera aleatoria e independiente, y asumiendo que es de un tamaño suficiente, aplicamos TCL en la ecuación 6.

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Dado que en la ecuación 7, se muestra que la probabilidad es mayor al 80%, entonces se decide solicitar un aumento en el número de ayudantes.

Parte 3:

En este caso, dado el cambio de enfoque, la función pasa a ser una distribución Exponencial con la variable “minutos que le toman a un ayudante revisar una evaluación”, y un parámetro  cuyo estimador también corresponde a la media muestral, demostrado en el apéndice 5.[pic 42]

Dado que la muestra se encuentra en ayudantías por hora, si dividimos la hora en 60 minutos obtenemos una muestra que se encuentra en el anexo 6 y donde bajo los 6 minutos un ayudante es catalogable como hábil. La nueva media muestral es 7,7. La decisión depende del siguiente criterio:

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