Estadistica 2
Sergio GonzálezExamen1 de Julio de 2021
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[pic 1][pic 2]
- El Departamento de Control de Calidad de una empresa ensambladora de vehículos está estudiando los rangos de velocidad que tiene el nuevo automóvil eléctrico, denominado E-MOVIL. Para ello ha diseñado una prueba de 1000 Km en el autódromo de la localidad para los 5 prototipos de los que se dispone. Se tiene un modelo teórico de que la velocidad promedio en realizar este recorrido es una variable aleatoria de tipo Beta entre 80 y 100 Km/h con parámetros α = 2 y β = 1. Con base en esta información y en los resultados de la prueba, se desea conocer lo siguiente:
Sea X la velocidad promedio de un E-MOVIL en hacer el recorrido, entonces
X~𝐵𝐸𝑇𝐴(𝑎 = 80; 𝑏 = 100; 𝛼 = 2; 𝛽 = 1) → ƒK(𝑥) = {
𝑥 − 80
; 80 < 𝑥 < 100[pic 3]
200
𝐹K(𝑥)
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
0; 𝑥 < 80
(𝑥 − 80)2[pic 4]
= ; 80 ≤ 𝑥 < 100 400
1; 𝑥 ≥ 100
1-A) Función de densidad marginal de la Mediana de las velocidades de los 5 E-MOVIL. Dado que n = 5, la mediana será el estadístico ordenado 3. Su función de densidad será
ƒ (𝑦 ) = 𝑛! [𝐹 (𝑦 )]j−1[1 − 𝐹 (𝑦 )]𝑛−jƒ (𝑦 )|
[pic 5]
= 30[𝐹 (𝑦)]2[1 − 𝐹 (𝑦)]2ƒ (𝑦)
F3 j (j − 1)! (𝑛 − j)! K j
K j K
j 𝑛=5 K K K
j=3
ƒF (𝑦) = {30 ([pic 6]
(𝑦 − 80)2 2
)[pic 7]
400
(1 −
(𝑦 − 80)2 2
)[pic 8]
400
(𝑦 − 80) ; 80 < 𝑦 < 100
200[pic 9]
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
ƒF3
(𝑦) =
3 10−5
(𝑦 − 80) (1 −[pic 10]
32
(𝑦 − 80)2 2
)[pic 11]
400
; 80 < 𝑦 < 100
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
Se verifica que el área total bajo la curva es igual a uno.
1-B) Función de distribución acumulativa del promedio de la menor y la mayor de las velocidades (recorrido muestral) de los 5 E-MOVIL.
Dado que n = 5, la menor y la mayor de las velocidades serán los estadísticos ordenados 1 y 5, por tanto, interesa conocer su función de densidad conjunta,
ƒ (𝑦 , 𝑦 ) = {20[𝐹K(𝑦5) − 𝐹K(𝑦1)]3ƒK(𝑦1)ƒK(𝑦5); 𝑦1 ≤ 𝑦5
F1F5 1 5
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
ƒF F (𝑦1, 𝑦5) = {20 [[pic 12]
(𝑦5 − 80)2
−[pic 13]
400
(𝑦1 − 80)2]
400[pic 14][pic 15]
(𝑦1 − 80) (
200
𝑦5 − 80); 80 < 𝑦 ≤ 𝑦 < 100
200[pic 16]
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
10−9 2 2 3[pic 17][pic 18]
ƒF F (𝑦1, 𝑦5) = { 128 [(𝑦5 − 80)
− (𝑦1 − 80) ]
(𝑦1 − 80)(𝑦5 − 80); 80 < 𝑦1 ≤ 𝑦5 < 100
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
La región donde la conjunta es distinta de cero, se muestra con línea oscura en negro, a continuación:[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
[pic 31][pic 32] | Z | |
Z = 80 | Z = 90 |
Sea Z, el promedio entre la menor y la mayor de las velocidades, entonces,[pic 33]
𝑍 = 𝑌1 + 𝑌5
2
→ 𝑌5
= −𝑌1
+ 2𝑧 → 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑i𝑒𝑛𝑡𝑒 (−1) 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑙 𝑒j𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡i𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 2𝑍
En la figura anterior se muestran algunas de esas curvas de nivel en color rojo. Nótese el sentido en el cual aumentan los valores de Z. Entonces, la estructura de FZ(z) será
0; 𝑧 < 80
𝐹 (𝑧) = {𝐹1(𝑧); 80 < 𝑧 < 90
Donde
Z
𝑧 (−𝑦1+2𝑧) −9
𝐹2(𝑧); 90 < 𝑧 < 100 1; 𝑧 ≥ 100
𝐹1(𝑧) = ∫ ∫
10 [(𝑦 − 80)2
128 5[pic 34]
− (𝑦1 − 80)
2]3
(𝑦1 − 80)(𝑦5 − 80)𝑑𝑦5𝑑𝑦1 =
80 𝑦1
𝐹1(𝑧) =
10−10
[pic 35]
12
(𝑧 − 80)10
100
𝑦5
10−9 2 2 3
𝐹2(𝑧) = 1 − ∫ ∫ 128 [(𝑦5 − 80)[pic 36]
− (𝑦1 − 80) ] (𝑦1 − 80)(𝑦5 − 80)𝑑𝑦1𝑑𝑦5
En resumen,
𝑧 (−𝑦5+2𝑧)
𝐹2(𝑧) = 1 +
10−10
[pic 37]
12
(𝑧 + 20)(𝑧 − 80)4(𝑧 − 100)5
0; 𝑧 < 80[pic 38]
10−10
⎪ (𝑧 − 80)10; 80 < 𝑧 < 90
𝐹Z(𝑧) =
12
⎨ 10
1 +
−10
(𝑧 + 20)(𝑧 − 80)4(𝑧 − 100)5; 90 < 𝑧 < 100
[pic 39]
⎪ 12
...