Estadistica

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]        [pic 9]

[pic 10]

Empezaremos recordando que en el plano cartesiano una ecuaci´on lineal es una ecuacio´n de la forma

a1x + a2y = c        (1)

y hace referencia a la gr´afica de una funcio´n que es una l´ınea recta, La cual tambi´en puede ser vista de la forma

y =        a1 x +  c[pic 11][pic 12]

a2        a2

, S´ı a2  ƒ= 0

La recta con pendiente

.        a1 .

m = −[pic 13]

2

c

y con corte b =        .[pic 14]

a2

y[pic 15]

y = mx + b[pic 16]

x

En un marco m´as amplio una ecuacio´n lineal puede tener m´as de dos inco´gnitas y en este caso se ver´ıa as´ı:

a1x1  + a2x2  + a3x3  + · · · + anxn = b        (2)

Esta es una ecuacio´n lineal, en la cual se identifican n 1  letras a1, a2, . . . , an que representan los coeficientes de las n inco´gnitas

x1, x2, . . . , xn cuya suma da como resultado b.

Un   sistema  lineal es un conjunto de una o m´as ecuaciones lineales; un sistema lineal de n ecuaciones con m inco´gnitas se ver´ıa en una forma gen´erica as´ı:

Donde aij  determina el coeficiente de la i−esima ecuacio´n y j−esima inco´gnita.[pic 17]

Note  en  el  sistema  de  arriba  que  no  necesariamente  el  nu´mero  n  coincide  con  el  nu´mero  m,  es  decir,  que  el  nu´mero  de

inco´gnitas no necesariamente coincide con el nu´mero de ecuaciones.

Se llama una solucio´n del sistema a un conjunto de nu´meros que son asignados a cada una de las inco´gnitas y que reducen cada una de las ecuaciones a una igualdad num´erica.

Ejemplo.        El sistema lineal de dos ecuaciones con tres inco´gnitas que se presenta a continuacio´n

3x1 + 2x2 − x3        =   3

x1 − x2 + 3x3        =    1

[pic 18]

1n representa un nu´mero arbitrario pero fijo de R

Tiene como solucio´n la tripla de nu´meros (0, 2, 1) donde el significado es que x1  = 0, x2  = 2 y x3  = 1, y verificamos que es una solucio´n de la siguiente manera, reemplazando el valor de cada una de las inco´gnitas.

3 · 0 + 2 · 2 − 1 = 0 + 4 − 1    = 3

0 − 2 + 3 · 1 = 0 − 2 + 3    =  1

Pero para este sistema esa no es la u´nica soluci´on; el estudiante puede verificar que (1, 0, 0) es tambi´en una solucio´n.[pic 19]

Para encontrar soluciones a los sistemas lineales, vamos a resaltar los detalles en el siguiente ejemplo de un sistema de tres ecuaciones  con  tres inco´gnitas

La metodolog´ıa usada se llama eliminacio´n y se trata, como su nombre lo indica, de eliminar inco´gnitas de las ecuaciones.

2

Empezaremos eliminando la inco´gnita x de la ecuacio´n (2); para esto podemos multiplicar la ecuacio´n (1) por − 3 , sumar las[pic 20]

ecuaciones y guardar el resultado en la ecuacio´n (2).  As´ı:

2        4        2        2[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

haciendo la suma

− 3 ×        3x − 2y − z = −1        ≡        −2x + 3 y + 3 z =  3

4        2        2

−2x + 3 y + 3 z        =        3[pic 25][pic 26][pic 27]

+

 _        2x + 2y − 2z        =        0        

y as´ı  el sistema queda

10        4        2

0 +  3 y − 3 z        =        3[pic 28][pic 29][pic 30]

3x − 2y − z        =    −1    (1)

10        4

3 y − 3 z        =[pic 31][pic 32]

2

(2)[pic 33]

3

x − y + 2z        =    4   (3)

1

Ahora  eliminamos  la  inco´gnita  x  de  la  ecuacio´n  (3);  para  esto  podemos  multiplicar  la  ecuaci´on  (1)  por  − 3 ,  sumar  las[pic 34]

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