Estadistica

Notas de clase: Estadística III

Operadores de Sumatoria y de Producto:

La letra griega (sigma) nos indicará sumatoria, representado de la siguiente manera:

Propiedades del operador sumatoria ∑:

, k: constante, Ejm:

, a,b: constantes

, k:constante

También podemos extendernos a sumas múltiples, es decir: , conocido como doble sumatoria, definido como:

Propiedades del operador de doble sumatoria :

El operador de producto, representado de la siguiente manera:

Espacio muestral, puntos muestrales y eventos:

Ejm: experimento de lanzar dos monedas.

A: que salga cara y sello

Probabilidad y variables aleatorias:

Probabilidad:

Sea A un evento del Ω, por tanto sea P(A) la probabilidad del evento A. Por ende, cuando nos referimos de P(A) hablamos de la obtención de la frecuencia relativa de un evento determinado mediante la ejecución de un experimento aleatorio, del cual se conocen todos los resultados posibles.

Propiedades de la probabilidad:

Si , entonces

Si , entonces

Variables Aleatorias:

Una variable aleatoria es una función que asigna a cada evento elemental un número real .

Nota: Los eventos elementales son los eventos del espacio muestral.

Función de densidad de probabilidad (FDP):

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria discreta:

“X” es una variable aleatoria discreta si toma diferentes valores, por ende la función de probabilidad:

Cumpliendo:

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua:

Sea “x” una variable aleatoria, donde una función que será FDP si y solo si satisface las siguientes condiciones:

Funciones de densidad de probabilidad conjunta:

Una variable aleatoria “X,Y” es de tipo discreto, entonces la función se conoce como función de densidad de probabilidad conjunta discreta.

Función de densidad de probabilidad marginal:

Se consiguen de la siguiente manera:

, función de densidad de probabilidad marginal de X

, función de densidad de probabilidad marginal de Y

Donde denota la suma sobre todos los valores de Y con referencia de la posición tomada de X y denota la suma sobre todos los valores de X con referencia del valor tomado de Y.

Función de densidad de probabilidad condicional:

Es cuando la probabilidad de que X tome el valor de dado que Y ha tomado el valor de :

Independencia Estadística:

Sean X, Y son dos variables aleatorias el cual son independientes si y solo si:

Ej.: una bolsa contiene 3 bolas numeradas 1, 2 y 3. Se seleccionan de la bolsa dos bolas al azar, con reemplazamiento. Sea X el número de la primera bola sacada y Y el número de la segunda. Se muestra la siguiente tabla de FDP conjunta de X y Y.

X

1 2 3

1 1/9 1/9 1/9

2 1/9 1/9 1/9

3 1/9 1/9 1/9

Y

Solución:

, y FDP marginal de X y Y es: ,

Entonces, al aplicar la formula , se puede comprobar que son estadísticamente independientes.

Función de Densidad de Probabilidad conjunta continua:

Sea “X, Y” dos variables continuas, entonces es FDP tal que tiene las siguientes propiedades:

Características de las distribuciones de probabilidad:

Caracterizado por los momentos de la distribución, los más resaltantes son la media y la varianza.

La Media

Sea X una variable aleatoria discreta. Siendo la media representada por: , definido de la siguiente forma:

, siendo la sumatoria la suma sobre todos los valores de X y donde f(x) es la FDP (discreta) de X.

Propiedades de la media:

Si K: constantes, entonces

Si c: constante, y x: variable, entonces

Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces

Sea X una variable aleatoria FDP f(x) y si g(x) es cualquier función de X, entonces , si X es discreta

, si X es continua

Varianza

Sea X una variable aleatoria con , la varianza de X se define como la esperanza matemática de los cuadrados de las desviaciones de la variable con respecto a su media.

, si X es una v.a discreta

, si X es una v.a continua

Propiedades de la varianza:

Si c:constante, entonces

Si c:constante, x:variable, entonces

Si x,y: variables aleatorias independientes, entonces

Si X,Y: variables aleatorias independientes, a, b: contantes, entonces

Covarianza

Sean X, Y dos variables aleatorias con medias respectivamente. Por tanto la covarianza será:

La se obtiene de la siguiente manera

si X,Y son v.a discretas

, si X,Y son v.a continuas

Propiedades de la covarianza:

Si X,Y son v.a independientes, entonces

Si a, b, c, d son constantes, entonces

Coeficiente de correlación

Se define como:

es una medida de asociación lineal, comprendida entre los intervalos .

Si entonces no existe relacione lineal de las dos variables aleatorias.

Varianzas de variables correlacionadas

Sean X y Y v.a:

, ahora si X y Y son independientes la por tanto la

Esperanza condicional y varianza condicional

La esperanza condicional de X , dado Y=y, se define como:

si X es discreta

, si X es continua

Varianza condicional

La varianza condicional de X dado Y=y, se define como:

si X es discreta

, si X es continua

Momentos superiores de las distribuciones de probabilidad

Los momentos de tercer y cuarto de una FDP se utilizan frecuentemente para estudiar la “forma” de una distribución de probabilidad, es decir estudia

su Asimetría:

Su curtuosis:

Algunas Distribuciones de Probabilidad teóricas importantes

Distribución Normal

La más conocida de todas las distribuciones de probabilidad teóricas es la distribución normal. Depende de dos parámetros:

Se dice que una variable X aleatoria (continua) está normalmente distribuida si su FDP tiene la siguiente forma:

, -∞<x<∞

Se denota:

Propiedades de la Distribución Normal:

Es simétrica de su valor medio.

La media, mediana y moda son iguales.

Tiene como puntos de inflexión y

El área comprendida entre y es aproximadamente 68,26% del área total.

El área comprendida entre y es aproximadamente 95% del área total.

El área comprendida entre y es aproximadamente 99.7% el área total.

Se puede convertir una variable X normalmente distribuida, dada con media y en una variable Z normal estandarizada mediante la siguiente transformación:

Distribución Normal Estándar: Se obtiene estandarizando una distribución Normal.

, representa que X es una variable normalmente distribuida con media cero y varianza unitaria, es decir, es una variable Z normal estandarizada.

Teorema Central del Límite: Sean variables aleatorias independientes. Sea , el cual a medida que n tienda al infinito se acercará a la distribución normal con media y varianza , entonces se cumple que:

Continuando las medidas de asimetría y curtosis, para una FDP normal se tiene una simetría=0 y una curtosis=3, entonces decimos que una Distribución Normal es simétrica y mesocúrtica.

La prueba de normalidad de Jaque-Bera implica determinar si los valores calculados de asimetría y curtosis parten de las normal de 0 y 3:

, A: asimetría, C: curtosis

DISTRIBUCIÓN (Ji-cuadrado)

La cantidad sigue la distribución con K grados de libertad (g.l), que significa el número de cantidades independientes en la suma anterior.

Se denota de la siguiente manera: , k:grados de libertad.

Propiedades:

Es una distribución Asimétrica, el grado de simetría dependerá de los grados de libertad. A medida que k es más grande la distribución se hace mas simétrica

Su y su

Sea : variables ji-cuadrado independientes, con g.l => es también una variable ji-cuadrado con g.l=

Distribución t de student

Sea una variable normal estandarizada y una distribución ji-cuadrado con k g.l estando distribuida independientemente de => sigue la distribución t de student con k g.l.

Propiedades:

Es simétrica, pero es más plana que la normal, y a media que los g.l aumentan, la distribución t se aproxima a la normal.

y .

Distribución F

Sea variables ji-cuadrado distribuidas independientemente con y g.l respectivamente, el cual la variable F: sigue la distribución F y se denota por .

Propiedades:

...