Estudio del comportamiento y optimización de funciones reales

Reporte de Laboratorio

Nombre del estudiante: Daniel Ortega
Materia: Matemáticas Aplicadas
Práctica #: 05
Título de la práctica: Estudio del Comportamiento y Optimización de Funciones Reales
Fecha: __ / __ / ____
Profesor: Mtra. Laura Benítez

1. Introducción

El análisis de funciones reales es una herramienta fundamental en matemáticas aplicadas, ya que permite describir y predecir el comportamiento de fenómenos físicos, económicos y de ingeniería. A través del estudio de derivadas, crecimiento, decrecimiento y extremos, es posible optimizar sistemas bajo ciertas condiciones.

En este laboratorio se analiza el comportamiento de distintas funciones matemáticas mediante el uso del cálculo diferencial, con énfasis en la identificación de máximos y mínimos locales, así como en la interpretación de los resultados obtenidos.

2. Objetivos

2.1 Objetivo general

Analizar funciones reales para identificar intervalos de crecimiento, decrecimiento y puntos de optimización.

2.2 Objetivos específicos

• Calcular derivadas de funciones algebraicas.
• Determinar puntos críticos.
• Clasificar extremos locales.
• Interpretar resultados en contextos aplicados.

3. Marco Teórico

Sea una función real continua y derivable ( f(x) ). La derivada de la función se define como: [ f’(x) = _{h }  ]

Los puntos críticos de una función se obtienen al resolver: [ f’(x) = 0  f’(x)  ]

Un punto crítico puede corresponder a un máximo local, mínimo local o punto de inflexión, dependiendo del comportamiento de la derivada.

4. Desarrollo de Ejercicios

Ejercicio 1

Enunciado

Dada la función ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 ), determinar sus puntos críticos.

Desarrollo

Se calcula la derivada: [ f’(x) = 3x^2 - 12x + 9 ]

Se iguala a cero: [ 3x^2 - 12x + 9 = 0 ]

Dividiendo entre 3: [ x^2 - 4x + 3 = 0 ]

Resolviendo: [ (x-1)(x-3) = 0 ]

Resultado

Los puntos críticos se encuentran en: [  ]

Ejercicio 2

Enunciado

Clasificar los puntos críticos de la función del ejercicio anterior.

Desarrollo

Se utiliza la segunda derivada: [ f’’(x) = 6x - 12 ]

Evaluando: - ( f’‘(1) = -6 < 0 ) → máximo local - ( f’’(3) = 6 > 0 ) → mínimo local

Resultado

La función presenta un máximo local en ( x=1 ) y un mínimo local en ( x=3 ).

Ejercicio 3

Enunciado

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Desarrollo

Se analiza el signo de la derivada en los intervalos determinados por los puntos críticos.

• Crece en ( (-, 1) ) y ( (3, ) )
• Decrece en ( (1, 3) )

Resultado

La función presenta comportamiento creciente y decreciente según los intervalos analizados.

5. Análisis de Resultados

Los resultados obtenidos permiten visualizar claramente el comportamiento de la función y corroboran la utilidad del cálculo diferencial en problemas de optimización. La repetición del procedimiento en distintos ejercicios refuerza la metodología empleada.

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