Evidencia 5 Apuntes de la Unidad Temática 2: Teoría de la Probabilidad

Evidencia 5

Apuntes de la Unidad Temática 2: Teoría de la Probabilidad

UNIDAD TEMÁTICA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Introducción

Antecedentes Históricos

Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Langrage (1736-1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749-1827), unificó todas estas ideas y compiló la primera Teoría General de la Probabilidad.

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y Blaise Pascal » tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre (1520) El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fue publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar. Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre

Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre » , del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.

A mediados del siglo  XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales

Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida..

La Teoría de la Probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante en nuestro estudio, a problemas sociales y económicos. La industria de seguros, que surgió en el siglo XIX, requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida, con el fin de calcular  las primas. Medio siglo más tarde, muchos centros de aprendizaje estaban estudiando la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro

En la actualidad, nuestra necesidad de encarar la incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la  teoría matemática de la probabilidad que es la base para las aplicaciones estadísticas, tanto en investigaciones sociales como en la toma de decisiones.

2.1 Enfoques de probabilidad

Existen dos maneras de calcular la probabilidad; éstas representan planteamientos conceptuales bastantes diferentes para el estudio de la Teoría de la Probabilidad: de manera Objetiva, donde encontramos a la Probabilidad de Frecuencia Relativa y a la Probabilidad Clásica; y de manera Subjetiva.

2.1.1 Objetiva: de frecuencia relativa y clásica

Probabilidad de Frecuencia Relativa

Se basa en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. Se define la frecuencia de un evento A como el cociente que resulta de dividir el número de veces que sucedió el evento entre el número total de veces que se repitió el experimento, bajo el supuesto de que en cada repetición de experimento el evento A tiene la misma oportunidad de ocurrir, es decir:

[pic 1]

A la Frecuencia Relativa también se le llama probabilidad empírica o a posteriori ya que en resultados confiables solo se obtienen después de realizar el experimento un gran número de veces.

Ejemplos: Se lanza un dado 50 veces, el experimento sale el numero 5 ocurre 8 veces, calcular la frecuencia relativa de dicho evento.

P= 8/50=0.16

En la caja hay 10 canicas rojas y 15 verdes, si extraemos canicas tras canicas con remplazo, hasta a completar 80 y 20 de ellas fueron rojas calcular la frecuencia relativa de dicho evento.

P=20/60 = 0.25

Probabilidad Clásica

Es el número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento.

La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.

Fórmula para obtener la probabilidad clásica o teórica:

 [pic 2][pic 3]

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3, en el lanzamiento de un dado? Si A= 4, 5, 6, entonces el número de resultados favorables es n (A) = 3.

Si Ω= 1, 2, 3, 4, 5, 6, entonces el número total de resultados posibles es (Ω) = 6.

Por lo tanto:      

                 [pic 4]

2.1.2 Subjetiva

Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir.

        Ejemplo: Evaluar la probabilidad de que la empresa General Motors, pierda su lugar número 1 en el total de unidades vendidas, frente a la Ford o la Chrysler, en un lapso de dos años.

2.1.3 Fenómenos Determinísticos y Aleatorios

        Fenómeno Determinístico

Son aquellos en los que podemos predecir su resultado, aún antes de realizar un experimento.

Ejemplo: El valor de una variable en cualquier fórmula de física, la siguiente semana tendrá 7 días.

Fenómeno Aleatorio

Es un suceso que a pesar  de realizarlo bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado final no se puede predecir.

Ejemplo: El clima o la economía.

2.2 Definición del Concepto de Probabilidad

Es una rama de las matemáticas que construye y estudia los métodos para medir y analizar fenómenos aleatorios, en los cuales cada resultado posible es producto del azar.

Se ocupa de los fenómenos que se producen al azar o son aleatorios.

En general, la probabilidad es la posibilidad de que algo suceda. Las probabilidades se expresan como fracciones o como decimales que están entre el cero y el uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre.

2.2.1 Conceptos Básicos de Probabilidad

        Experimento

Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. Es una acción que genera eventos.

Ejemplo: Lanzar una moneda y observar la cara

-Experimento simple: Es el experimento que no se puede descomponer más. Ejemplo: Si lanzamos una moneda y anotamos el resultado

-Experimento Compuesto: Es el experimento que está formado por dos o más experimentos simple. Ejemplo: Hemos lanzado la moneda dos veces.

• Con Remplazo: aquel en el que, después de cada extracción, el elemento extraído se repone. De este modo, cada extracción se realiza en  las mismas condiciones que la anterior. Ejemplo: Una urna contiene 3 bolas rojas y una azul. Se sustrae dos de ellas con remplazo, esto es, se selecciona una, se observa el color y se vuelve a depositar dentro de la urna antes de realizar la segunda selección se revuelven las bolas.
• Sin remplazo: las sucesivas extracciones se realizan sin devolver el elemento anteriormente extraído. Las condiciones de cada extracción son distintas y dependen de cuál o cuáles sean los elementos anteriormente extraídos. Ejemplo: Una caja contiene cinco bolas rojas y tres negras, se saca una bola y no se regresa a la caja. Se saca una segunda bola.

Evento

Es el posible resultado de un experimento. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto.

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