Expresiones Decimales

Expresiones Decimales

Todo número racional puede escribirse como fracción, o como su expresión decimal equivalente, que es la que se obtiene al dividir entre el numerador y el denominador, lo que permite comparar sus expresiones decimales.

Al hacer esta división puede ocurrir que el cociente sea:

*Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales

Los únicos divisores del denominador son 2 o 5

*Periódico puro: la parte decimal se repite indefinidamente (periodo).

Los números 2 o 5 no son divisores del denominador.

*Periódico mixto: la parte decimal esta formada por una parte que no se repite (ante periodo)

seguida del período.

Los divisores del denominador son 2 ó 5 y tiene además otros divisores.

Periodicidad de ciclo completo y de ciclo parcial

La división por 7 da lugar a números decimales con un período de seis dígitos, es el primero de los números que tienen la "periodicidad de ciclo completo", una característica bastante especial.

Veamos:

1 / 7 = 0,142857142857... entonces

1 / 7 = 0,142857

2 / 7 = 0,285714

5 / 7 = 0,714285

Es evidente que en todos los casos se repiten las cifras del período, sólo cambian de orden

es decir, cumplen un ciclo completo y cerrado.

Si probamos a multiplicar las cifras de este período resultante, 142857, por otros números, veremos que siempre se repiten estas cifras en una rotación.

142857 x 2 = 285741 ; 142857 x 3 = 428571 ; 142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285 ; 142857 x 6 = 857142 ; 142857 x 7 = 999999

Con el producto por 7 culmina la serie con 999999.

Si se prueba con números mayores que 7, entonces vuelve a salir la serie pero será necesario sumar la primera y la última cifra:

142857 x 8 = 1142856 ; 142857 x 9 = 1285713

Este cálculo no es una regularidad aislada, lo podemos encontrar en otros números, como el 17, que tiene un período de 16 cifras:

1 / 17 = 0,0588235294117646

2 / 17 = 0,1176460588235294

En el que también podemos encontrar productos cíclicos, pero con pequeñas irregularidades:

0588235294117646 x 2 = 1176470588235292

También lo encontramos en el 19, que tiene un período de 18 cifras:

1 / 19 = 0,052631578947368421

2 / 19 = 0,105263157894736842

el cual cumple totalmente una regularidad en los productos cíclicos:

052631578947368421 x 2 = 105263157894736842

052631578947368421 x 7 = 368421052631578947

052631578947368421 x 19 = 999999999999999999

Un par de ejemplos más:

El número 23 tiene un período de 22 cifras: 0,0434782608695652173913

El número 29 tiene un período de 28 cifras: 0,0344827586206896551724137931

La conclusión es que la mayoría de los números primos dan lugar a decimales periódicos con un ciclo completo de n - 1 cifras.

Dejamos para el final el número primo 13

El número 13 es el primero de los números que tienen la "periodicidad de ciclo parcial" y que consiste en que aparecen dos tipos diferentes de períodos, con la mitad de la longitud, depende de cuales sean los dividendos utilizados, es decir:

1 / 13 = 0,076923076923 = 0,076923

2 / 13 = 0,153846153846 = 0,153846

3 / 13 = 0,230769230769 = 0,230769

5 / 13 = 0,384615384615

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