Funciones Con Pocos Datos: Polinómicas Y Racionales

DERIVE

8.1 FUNCIONES CON POCOS DATOS: POLINÓMICAS

Y RACIONALES

Considera la función f(x):=x^3-6x^2+9x. Introdúcela.

Halla su primera derivada con f’(x). No olvides que se trata del apóstrofe, ’, y no del acento, ´. Pulsa para resolver la ecuación f’(x)=0 y obtener posibles máximos o mínimos. Anótalos (x = 1 y x = 3).

Halla la segunda derivada con f’’(x). Pulsa para resolver la ecuación f’’(x)=0 y obtener los puntos de inflexión. Anótalos (x = 2).

Para hallar las ordenadas de los posibles máximos y mínimos, simplifica f (1) y f (3). ¿Cuál será el máximo y el mínimo? Asegúrate hallando f ’’( 1) y f ’’(3). Para hallar la ordenada del punto de inflexión, simplifica f (2). Para hallar los puntos de corte con los ejes, simplifica f (0) y resuelve f (x) = 0.

Con los datos obtenidos trata de esbozar la gráfica.

Introduce f(x) y pulsa para abrir la ventana de gráficos. Una vez abierta, vuelve a pulsar para representar la función. Usa los iconos y para centrar la pan-talla en la posición del cursor o en el origen, y pulsa o para ampliar o reducir la imagen en uno o ambos ejes.

En el menú Ventana elige la opción Mosaico vertical para visualizar gráficos y ex-presiones, simultáneamente.

Sitúa el cursor sobre el máximo y el mínimo, y comprueba que los valores que aparecen en la parte inferior de la ventana gráfica son los obtenidos. Si pulsas F3, el cursor salta a la gráfica (modo traza) y puedes recorrerla con las flechas del teclado. Pulsando de nuevo F3 se sale del modo traza.

En las funciones polinómicas (siempre continuas) las derivadas proporcionan la infor-mación más relevante, pues permiten calcular los máximos, mínimos y puntos de infle-xión, y detectar los intervalos de crecimiento y concavidad.

Practica

1. Introduce la función f(x):=x^3/(x^2-4). Representa [y=x^3/(x^2-4), y=x, x=2, x=-2]. Obtendrás la gráfica simultánea de la función y sus asíntotas verticales y oblicua. Usa el zoom en uno o ambos ejes si es preciso.

Halla los siguientes límites con DERIVE:

LIM(f(x), x, 2, 1) LIM(f(x), x, 2, -1) Asíntota vertical x = 2 y po-sición de la curva respecto a ella.

LIM(f(x), x, -2, 1) LIM(f(x), x, -2, -1) Asíntota vertical x = 2 y posición de la curva respecto a ella.

LIM(f(x), x, inf) LIM(f(x), x, -inf) No hay asíntota horizontal.

LIM(f(x)/x, x, inf) Pendiente de la asíntota obli-cua a = 1.

LIM(f(x)-x, x, inf) Término independiente de la asíntota oblicua.

En las funciones racionales los límites permiten hallar las posibles asíntotas. Anali-zando la situación de la curva respecto a ellas podemos esbozar la gráfica con gran aproximación.

2. Halla los posibles máximos o mínimos de la función f (x) de la práctica anterior. Para ello, introduce y resuelve con la ecuación f’(x)=0. Puedes utilizar para obtener una aproximación decimal de los valores de x. Compruébalo en la grá-fica.

DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ANALÍTICA

3. Asigna cada de una de las siguientes funciones a su gráfica y compruébalo después representándolas.

Describe cada una de ellas con el menor número posible de elementos:

• –2x + 1 • 2x+1 • tg(x)

• (x + 1)/2 • x2 – 4 • 2x + 1

• (x + 1) • (x – 2) • (x – 3) • 9 – x2 • ln(|x|)

• |(x – 1) • (x – 2) • (x – 3)| • |x – 2| • ln(x – 3)

• (x – 1)2 • (x – 2)3 • |x2 – 4| • sen(x)

• (x – 1) • (x + 2) • (x + 3) • 2x • sen(2x)

• (x + 1) • (x – 2) • 2–x • –cos(x)

DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA A LA GRÁFICA

4. Considera la primera gráfica del ejercicio anterior:

Asigna las gráficas siguientes a las funciones:

f (x)+1 f (x+1) 2f (x) f (2x) –f (x)

f (–x) | f (x)| f (| x |) f (x)+1 f (x+1)

Compruébalo introduciendo f(x):=(x+1)(x-2)(x-3) y representando las funciones pedi-das.

Para estudiar y representar una función conviene abordar varios aspectos.

8.2 ELEMENTOS A ESTUDIAR PARA LA REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN. CAMPO DE ESTUDIO

DOMINIO

Considera los casos más comunes: denominadores que se anulan y argumentos negativos en raíces o logaritmos.

DENOMINADORES QUE SE ANULAN

Estudia f(x):=(5/x^2-5x+6).

a) Para ello, introduce x^2-5x+6 y “resuelve” con . DERIVE asume =0, si no se especifica. Los valores resultantes anulan el denominador.

b) Resalta con el cursor x^2-5x+6 y represéntalo con . Observa los puntos en que la curva corta al eje OX. Sitúa el cursor sobre ellos y observa los valores de x en la parte inferior de la ventana.

c) Por último, puedes representar directamente f (x) y comprobar efectivamente los puntos en los que no está definida.

Practica

5. Repite la práctica con el ejercicio propuesto 1 en la página 186 del libro.

6. ¿Para qué valores de x no está definida la función f(x):=x/sinx? Compruébalo.

7. Resuelve con la ecuación ax^2+bx+c=0. ¿Reconoces el resultado?

8. Halla los valores que anulan las siguientes expresiones:

3x^3-5x+1 Aproxima el resultado. ¿Cuántas soluciones hay?

3x^3-5x+4 ¿Cuántas soluciones reales hay?

x^5+2x-1 DERIVE no puede resolverlo algebraicamente. Elige Re-solver - Numéricamente o pulsa CTRL+May+N. De-bes introducir un intervalo para buscar las raíces. Especifi-ca entre –10 y 10. Representa la función para comprobar el resultado.

RAÍCES DE EXPRESIONES NEGATIVAS

Estudia f(x):=(x^2-5x+6).

a) Introduce y resuelve x^2-5x+6<0.

b) Representa y= x^2-5x+6 y observa la parte negativa. Utiliza el zoom si es preciso. Elimina la gráfica y, a continuación, introduce y representa IF(x^2-5x+6<0,

x^2-5x+6). Obtendrás solo la parte negativa.

c) Por último, puedes representar directamente f (x) y comprobar efectivamente los puntos en los que no está definida.

Practica

9. Estudia el dominio de las siguientes funciones:

(-x^2+5x-6) (x^2-9) (9-x^2) (x^2+1)

(x+1) |x+1| sinx

LOGARITMOS DE EXPRESIONES NEGATIVAS

Estudia f(x):=ln(x^2-5x+6).

El caso es análogo al de las raíces, pero ahora hay que considerar también 0.

a) Introduce y resuelve x^2-5x+60. El símbolo  lo encontrarás en la Barra de símbo-los. Si no la tienes abierta hazlo con Ventana-Barra de herramientas-Barra de símbo-los. También puedes considerar la parte positiva complementaria, f (x) > 0.

b) Representa y=x^2-5x+6 y observa la parte negativa.

c) Representa directamente ln(x^2-5x+6).

Practica

10. Estudia el dominio de las siguientes funciones:

ln(x - 3) ln |x – 3| ln(x2 – 9) ln(9 – x2) ln(x2 + 1)

11. Recuerda las propiedades de los logaritmos: lnx2 = 2lnx. Representa los dos miem-bros de la igualdad anterior. ¿Coinciden? Considera ln x2 = 2ln|x|.

12. Resuelve el ejercicio propuesto 2 de la página 186 del libro.

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

Las funciones que utilizamos en este nivel son continuas, salvo para los valores en que no están definidas, estudiados en el apartado anterior. Pero en algunos casos se trata de discontinuidades evitables.

Practica

13. Introduce y simplifica la siguiente expresión:

(x^2-4)/(x+2)

DERIVE simplifica automáticamente sin tener en cuenta el caso de x = 2. Obsérvalo con

(x^3-1)(x^1-1) x^2/x (x-3)^2/(x^-9) etc.

Introduce x^2 y represéntalo. Podrías esperar obtener la recta y = x pero en realidad obtienes y=|x|. Tenlo en cuenta.

14. Salvo los puntos no incluidos en el dominio, pueden aparecer puntos de no derivabi-lidad en las funciones definidas a trozos y en los valores absolutos. Compruébalo representando las siguientes funciones, pero previendo antes el resultado:

Introdúcela como f(x):=IF(x<1, 2x+1, x^2+1).

f (x) = (x + 1)|x + 2| f (x) = (|x + 1|

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