Funciones Racionales

Funciones Racionales

Definición: una función racional es una función de la forma

Rx=p(x)q(x)

Donde p y q son funciones polinomiales y q no es un polinomio cero. El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos para los que el denominador q es cero.

Características:

* La palabra racional hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de 2 polinomios) los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

* Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo de análisis numéricos para aproximar resultados de otras funciones más complejas.

Ejemplos

1. El dominio de Rx=2x2-4x+5 ;

Es el conjunto de todos los números reales excepto -5

2. El dominio de Rx=1x2-4

Es el conjunto de todos los números reales excepto -2 y 2

3. El dominio de Rx=x2-1x-1

Es el conjunto de todos los números reales excepto 1

Asíntotas verticales, Horizontales u Oblicuas

Asíntotas verticales (sea R una función)

Sí cuando x se acerca a un número c, los valores R(x)→ ∞, entonces la recta x=c es una asíntota vertical de la gráfica de R. La grafica de R nunca cruza la asíntota vertical.

Teorema: localización de asíntotas verticales

Una función racional

Rx=p(x)q(x), simplificada, tendrá una asíntota vertical x=r sí r es un cero real del denominador q: esto es, sí x-r es un factor del denominador q de una función racional Rx=p(x)q(x) simplificada entonces R tendrá la asíntota vertical x=r.

Ejemplos

Función Racional | Solución |

Rx=xx2-4 | R esta simplificada y los ceros del denominador x2-4 son -2 y 2. Así las recatas son x=-2 y x=2. |

F(x)x+3x-1 | F Está simplificada y el único cero del denominador es 1. Entonces la recta x=1 es la única asíntota vertical de la gráfica de F |

Gx=x2-9x2+4x-21 Gx=x+3(x-3)x+7(x-3) Gx=x+3x+7 | El único cero del denominador de Gx simplificada es -7. Entonces, la recta x=-7 es la única asíntota vertical de la grafica de G. |

Asíntotas Horizontales (sea R una función)

Sí cuando x→-∞ ó x→∞ los valores de Rx se acercan a un número fijo y entonces la recta y=L es una asíntota horizontal de de la grafica R.

Teorema: sí la función racional es propia, la recta y=0 es una asíntota horizontal de una grafica.

Ejemplo

Encuentre asíntotas horizontales de la gráfica de

R(x)x-124x2+x+1

Solución:

la función racional R es propia, ya que el grado del numerador, 1, es menor que el grado del denominador, 2. Se concluye que la recta y=0 es una horizontalasíntota de la gráfica de y=0 es una asíntota horizontal de la grafica R.

Para ver por qué y=0 es una asítota horizontal de la función R en este ejemplo debe investigarse el comportamiento de R cuando x→-∞ y x→∞. Cuando x es no acotada, el numerador de R, que es x-12, se aproxima por la función de potencia y=x, mientras que el denominador de R,4x2+x+1 se aproxima por la función de potencia y=4x2. Al aplicar estas ideas de R(x) se encuentra que:

Rxx-124x2+x+1≈x4x2=14x→0

Esto demuestra que la recta y=0 es una asíntota horizontal de la gráfica R.

Asíntotas Oblicuas

Sí una asíntota no es horizontal ni vertical, se llama oblicua. Una asíntota oblicua, cuando ocurre, describe el comportamiento terminal de la grafica. La grafica de una función podría interceptar una asíntota oblicua.

Asíntotas horizontales u oblicuas

Ejemplo #1

Encuentre las asíntotas horizontales u oblicuas, si las hay, de la grafica de

H(x)3x4-x2x3-x2+1

Solución: la función racional H es impropia, pues el grado del numerador, 4, es mayor que el grado del denominador, 3. Para encontrar las asíntotas horizontales u oblicuas, se usa la división larga, resultado de dicha división es, 2x2-3x-3

Como resultado,

Hx3x4-x2x3-x2+1=3x+3+2x2-3x-3x3-x2+1

Entonces, cuando x→-∞ o cuando x→∞,

2x2-3x-3x3-x2+1≈2x2x3=2x→0

Así, sí x→-∞ o si x→∞, se tiene Hx→3x+3. se concluye que la gráfica de la función racional H tiene una asíntota oblicua y=3x+3.

Ejemplo #2

Encuentre las asíntotas horizontales u oblicuas, si las hay, de la grafica de

R(x)8x2-x+24x2-1

Solución: la función racional R es impropia, ya que el grado del numerador, 2, es igual al grado del denominador, 2. Para encontrar cualquier asíntota horizontal u oblicua, se usa la división larga, resultado de dicha división es, -x+4

Como resultado,

Rx8x2-x+24x2-1=2+-x+44x2-1

Entonces, cuando x→-∞ o cuando x→∞,

-x+44x2-1≈-x4x2=-14x→0

De modo que x→-∞ o cuando x→∞, se tiene R(x)→2. se concluye que y=2 es una asíntota de la grafica.

Funciones Exponenciales

Una función exponencial es una función de la forma

fx=ax

Donde a es un numero real positivo (a>0) y a≠1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales.

Teorema: si s,t,a y b son números reales a>0 y b>0, entonces,

as.at=as+t abs=as.bs 1s=1 a0=1

a-s=1as=1as ast=ast

Grafica de Funciones Exponenciales

Grafique la función exponencial: fx=2x

SOLUCION:

El dominio de fx=2x consiste en todos los

numero reales. Se comienza por localizar algunos puntos de la grafica de fx=2x

Como 2x>0 para toda x, el rango de f es el intervalo (0,∞). De esto se concluye que la grafica que no tiene intercepciones x y, de hecho, la grafica estará arriba del eje x, como indica la tabla, la intercepción es 1. La tabla también indica que cuando x→-∞ el valor de fx=2x se acerca cada vez más a 0. Se concluye que el eje x es una asíntota horizontal de la grafica cuando x→-∞. Esto proporciona el comportamiento terminal de la grafica para valores negativos grandes de x.

Cuando x→∞, fx=2x crece muy rapiido, haciendo que la grafica de fx=2x suba con rapidez. Es evidente que f es una función creciente y, por lo tanto, es uno a uno.

Utilizando esta información, se grafican algunos puntos y se conectan con una curva suave y continua.

x | fx=2x | Y |

-10 | fx=2-10 | 0.00098 |

-3 | fx=2-3 | 18 |

-2 | fx=2-2 | 14 |

-1 | fx=2-1 | 12 |

0 | fx=20 | 1 |

1 | fx=21 | 2 |

2 | fx=22 | 4 |

3 | fx=23 | 8 |

10 | fx=210 | 1024 |

La grafica fx=2x es típica de las funciones exponenciales que tienen una base mayor que 1. Estas funciones son crecientes y, por ende, uno a uno. Sus graficas están arriba del eje x pasan por el punto (0,1) y

en adelante crecen con rapidez cuando x→∞. Si x→-∞, el eje x(y=0) es una asíntota horizontal. No hay asíntotas verticales. Por último las graficas son suaves y continuas, sin esquinas ni saltos.

Propiedades de las funciones exponenciales

Lo siguiente es un resumen de la información que se tiene acerca de fx=ax, a>1

Propiedades de la función exponencial fx=ax, a>1

* El dominio es el conjunto de todos los números reales; el rango es el conjunto de los números reales positivos

* No hay intercepciones x; la intercepción y es 1

* El eje x(y=0) es una asíntota horizontal cuando x→-∞

* fx=ax, a>1, es una función creciente y es uno a uno

* La grafica de f contiene los puntos 0,1, 1,a y -1,1a

* La grafica de f es suave y continua, sin esquinas ni saltos

Funciones exponenciales de base e

Muchos problemas que se moldean mediante una función exponencial cuya base es cierto número irracional, que se simboliza por la letra e

El número e está definido como el número al que se acerca la expresión

1+1nn

Cuando n→∞. En el cálculo, esto se expresa usando la notación para límite como

e=limn→∞1+1nn

Aplicación, Probabilidad exponencial

Entre las 9:00 pm y las 10:00pm, los autos llegan al auto Burger

King, con una tasa de 12 autos por hora (0.2 autos por minutos). La siguiente formula de la teoría de probabilidades se utiliza para determinar la probabilidad de que un auto llegue en los primero t minutos después de las 9:00 de la noche.

Ft=1-e-0.2t

a) Determine la probabilidad de que un auto llegue en los siguiente 5 minutos después de las 9:00 pm (es decir, antes de la 9:05 pm)

b) Determine la probabilidad de que un auto llegue en los siguiente 30 minutos después de las 9:00 pm (antes de las 9:30)

c) ¿A qué tiende el valor de F cuando t es no acotada en la dirección positiva?

SOLUCIÓN

a) La probabilidad de que un auto llegue en los siguientes 5 minutos se encuentra evaluado F(t) en t=5.

F5=1-e-0.2(5)≈0.63212

Se concluye que existe una probabilidad de 63% de que un auto llegue en los siguientes 5 minutos.

b) La probabilidad de que un auto llegue en los siguientes 5 minutos se encuentra evaluado F(t) en t=30.

F30=1-e-0.2(30)≈0.9975

Existe una probabilidad de 99.75% de que un auto llegue en los siguientes 30 minutos.

c) Al pasar el tiempo, aumenta la probabilidad de que llegue un auto. El valor al que tiende F se encuentra haciendo que t→∞. Como e-0.2t=1e0.2t, se reduce que e-0.2t→0 cuando t→∞. Entonces, F tiende a 1 cuando t crece.

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