Funciones Racionales

FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma;

o de una forma mas sencilla;

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y X una variable, siendo Q(x) distinto del polinomio nulo, es decir, cuando Q≠0.

Funciones racionales propias e impropias

Se llaman funciones racionales propias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, n < m

Ejemplo 1.

Sea la función

el grado del polinomio del numerador es n = 2 y el del denominador es m = 3. Esta función racional es propia.

Y se llaman funciones racionales impropias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el del denominador, n ≥ m.

Ejemplo 2.

Sea la función

el grado del polinomio del numerador es n = 2 y el del denominador es m = 1. Esta función racional es impropia.

Asíntotas.

Son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( x o y ) tienden a infinito.

1.- asíntotas vertical

2.-asintotas horizontal

3.-asintotas oblicuas

Asíntota vertical

Estas existen en los valores de la variable x que hacen cero al denominador, en otras palabras en los valores de ‘x’ excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la grafica como líneas verticales.

Ejemplo:

Sea la función

es función racional propia porque el grado del numerador n = 0 es menor que el del denominador m = 1.

Evaluamos en cero para obtener la intersección en y (ordenada al origen);

Igualamos la función a cero para obtener la intersección en x (raiz)

y llegamos a una contradicción. Esto implica que no hay ningún valor de x tal que la función valga cero, es decir, no tiene raíces.

Para encontrar la asíntota vertical igualamos a 0 el denominador

X+1=0

Por inspección se ve que la función no está definida cuando x = -1.

Para aclarar el comportamiento de la función recurrimos a una representación tabular:

x f(x)

-100 -0.0303

-10 -0.3333

-1.01 -300

-1

-0.99 300

0 3

10 0.2727

100 0.0297

También se observa que si nos acercamos a x = -1, los valores de f(x) son cada vez mayores, ya sea positivos (por la derecha) o negativos (por la izquierda). Otra vez, el comportamiento de la función es asintótico a x = -1.

La representación gráfica es la siguiente:

Asíntota horizontal.

Los valores de la variable y que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, n y m respectivamente (numerador y denominador).

Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador.

Si en la función

1) n > m f(x) NO posee asíntota horizontal

2) n = m f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta

3) n < m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.

Ejemplo

Igualamos la función a cero para obtener la intersección en x

(2x+1)/x=0 ------> x= -1/2

Evaluamos en cero para obtener la intersección en y;

F(0)=(2(0)+1)/0

No tiene.

Para encontrar la asíntota horizontal vamos a dividir la función entre la variable de mayor exponente queda asi

F(x)= █(2x/x+1/x@)/(x/x)=2

Para aclarar el comportamiento de la función recurrimos a una representación tabular:

1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).

x 1 10 10 3 10 6

f (x) 3 2.1 2,001 2,000001

2 - Sea x disminución y encontrar los valores de f (x).

x -1 -10 -10 3 -10 6

f (x) 1 1,9 1,999 1,999999

Como | x | aumenta, el numerador está dominado por el término 2x y el numerador sólo tiene un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Véase el comportamiento gráfico de abajo.

En general, la recta y = b es una asíntota horizontal para la gráfica de f si f (x) se aproxima a una constante b como x aumenta o disminuye sin límite.

Asíntotas homografica

Son la combinación de las dos;

Asíntotas oblicua

Sabiendo esto podemos decir que una asíntota es una recta. Se distinguen tres tipos de asíntotas que son las asíntotas horizontales, asíntotas verticales y asíntotas oblicuas.

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas de la forma Y= mx + n

Una función racional tiene asíntotas oblicuas si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

La asíntota oblicua es una asíntota que no es horizontal ni vertical.

¿Cómo identificar una asíntota oblicua en una función?

Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el

denominador, la función tiene asíntota oblicua.

Ejemplo :

Una función puede poseer asíntotas oblicuas y verticales a la vez.

Dominio y rango

Para las funciones racionales propias, el dominio es el conjunto de todos los reales excepto los valores de x que hacen cero al denominador. Su contradominio requiere analizarse en cada caso.

Determinar Dominio y Rango de

Igualando el denominador a cero :

X – 3 = 0 ; X = 3

El dominio estará formado por todos los reales excepto el número 3.

Dom f(x) = R – {3} ; (– ∞ , 3) U (3 , + ∞ )

Esta gráfica presenta una asíntota horizontal en “Y = 1”, Luego la función

estará definida en todos los valores de Y menos en “Y = 1”.

Rango = R – {1} ; (– ∞ , 1) U (1 , + ∞ )

Conclusión

Gracias a esta función podemos elaborar funciones racionales propias e impropias las cuales son polinomios y se pueden resolver por medio de las ecuaciones, tabulación y graficando y en estas funciones podemos encontrar las asíntotas: Una asíntota es una recta a la cual la función se aproxima indefinidamente cuando x ó f(x) tienden a infinito. Hay asíntotas verticales,

horizontales y oblicuas.

En las funciones racionales propias, el eje x es asíntota horizontal cuando x tiende a infinito.

En las funciones racionales propias, de manera práctica lo que se hace para encontrar las raíces es igualar el numerador a cero y resolvemos. Para encontrar las asíntotas verticales igualamos el denominador a cero y resolvemos.

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