Funciones Trigonometricas

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las funciones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será:

La hipotenusa (_h_) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (_a_) es el lado opuesto al ángulo que nos interesa.

El cateto adyacente (_b_) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

{draw:frame}

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

{draw:frame}

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

{draw:frame}

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

{draw:frame}

*Funciones trigonométrica* de ángulos notables

Animación de la función seno.

Definiciones analíticas

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. En concreto se definen dos funciones C(_x_) y S(_x_) que satisfacen el siguiente sistema de primer orden:

{draw:frame}

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

{draw:frame}

Esta definición de analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es una cero de la función seno.

Series de potencias

A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuyo desarrollo en serie de potencias viene dado por:

{draw:frame}

{draw:frame}

Relación con la exponencial

compleja

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:

{draw:frame}

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

{draw:frame}

Funciones trigonométricas inversas

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho ángulo. La función arcoseno real es una función {draw:frame} , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

{draw:frame}

Arcocoseno: es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho ángulo. Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

{draw:frame}

Arcotangente: es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho ángulo. A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

{draw:frame}

Generalizaciones

Las funciones hiperbólicas son el análogo de las funciones trigonométricas

para una hipérbola equilatera. Además el seno y coseno de un número imaginario puro puede expresarse en términos de funciones hiperbólicas.

Las funciones elípticas son una generalización biperiódica de las funciones trigonométricas que en el plano complejo sólo son periódicas sobre el eje real. En particular las funciones trigonométricas son el límite de las funciones elipticas de Jacobi cuando el parámetro del que dependen tiende a cero.

CONCLUSION

A través del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado su vida para contribuir con la realización

...