Funciones

PERACIONES CON FUNCIONES:

Definición:

Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones:

1. SUMA:

2. DIFERENCIA:

3. PRODUCTO:

4. COCIENTE:

NOTA:

En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g(x)

COMPOSICION DE FUNCIONES

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g"

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir (Ver fig. 13.).

El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g(x)

fig. 13.

Ejemplo: si f(x) y g(x) son las funciones definidas por:

y

Entonces

Del ejemplo anterior se deduce que en general: (g o f) (x)  (f o g) (x)

Definición: Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:

o equivalentemente,

Criterio de la recta horizontal:

Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces f es 1-1 o inyectiva

Así por ejemplo, en la fig. 14. (a), aparece la gráfica de la función y = f(x) = x2 + 1 la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1

Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto: P1(-1, 2) y P2(1, 2)

(a) fig. 14 (b)

Igualmente, en la fig. 14. (b), aparece la gráfica de la función y = x3 – 1, la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1

Funciones Inversas:

Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, que se presenta en esta sección, se toma nuevamente la función f, de la fig. 14. (b) que está definida por la ecuación:

y = f(x) = x3 – 1 (1)

y cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene:

(2)

Por la forma que presenta esta ecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango

de f (esto es, de ), existe uno y solo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el domino de f

Así por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2, un único valor de y, en este caso, y = 23 – 1 = 7.

La segunda ecuación, efectúa la operación inversa, esto es al valor y = 7, le asigna el valor de

Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la dependiente, se intercambia x con y en la ecuación (2) y así se obtiene: (3)

La función definida por (2) o (3) y que se representa en forma general por f -1 se conoce como la INVERSA DE LA FUNCIÓN f definida por (1). Igualmente, la función definida por (1) es la INVERSA DE LA FUNCIÓN f -1 definida por (2)

Es decir,

Las gráficas de f(x) y de f –1(x) representadas en el mismo plano cartesiano aparecen el la fig. 15

Considere ahora la función y = f(x) = x2 + 1 cuya gráfica se muestra en la fig. 14 (a).

El dominio de f lo constituye el conjunto de los números reales y el rango es el intervalo 

Al despejar x, se obtiene:

Esta última ecuación, dice que para cada valor que se le asigne a la variable y, le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia, esta última ecuación no define una función.

En este caso se dice que la función y = f(x) = x2 + 1 no tiene inversa o que f –1 no existe.

De los dos ejemplos anteriores, se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1-1.

Definición.

Sea

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