Funciones

2. FUNCIONES

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÒN, DOMINIO, CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÒN

Variable: Una variable es un símbolo que representa un elemento o cosa no especificada de un conjunto dado. Sea x una variable cuyo universo es el conjunto {1,3,5,7,9,11,13}; entonces x puede tener cualquiera de esos valores: 1,3,5,7,9,11,13. Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor. Los valores que una variable es capaz de recibir, pueden estar definidos dentro de un rango, y/o estar limitados por razones o condiciones de pertenencia. En muchos usos, lo contrario de una variable es una constante, las cuales solo pueden tener el valor asignado.

Función: En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A= π·r2.

VARIABLE INDEPENDIENTE: Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable. En este caso el radio.

en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

VARIABLE DEPENDIENTE: puesto que esta necesita de la independiente para analizar su valor.

Dominio: El dominio de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. El dominio de una funcion son todos los valores que puede

tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio.

Dominio->función->Rango

Ejemplo: si a la función f(x) = x2 se le dan los valores x = {1, 2, 3,...} entonces {1, 2, 3,...} es el dominio.

Condominio: El condominio (conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa funció. El codominio y el rango tienen que ver con la salida,

pero no son exactamente lo mismo. Codominio o rango de la función en ocasiones llamado imagen,

este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los

valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y.

Recorrido de una función: El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Este conjunto se denota como Im f o Recorrido f.

Si consideramos la función que a cada número le asocia su cuadrado, y = x2, su dominio será todos los números reales, es decir, existe el cuadrado de cualquier número. Pero la variable dependiente y sólo tomará valores mayores o iguales que 0, ya que el cuadrado de un número es siempre positivo.

Decimos que el recorrido de la función y = x2 es todos los números reales positivos más el 0 y lo representamos así:

Recorrido f = R+ ∪ {0}

2.2 FUNCIÒN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA.

Inyectiva: Una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (codominio) de . Es decir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan el mismo codominio.

Suprayectiva: Si está aplicada sobre todo el condominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Biyectiva: Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Una implicación directa de lo anterior, es que en una función biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o condominio, son iguales

2.3 FUNCIÒN REAL DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIÒN GRÀFICA.

Se llama función real de una variable real a cualquier aplicación f: D ¡! R, D ½ R, que hace corresponder a cada x 2 D uno y solo un valor f(x) 2 R. La función se suele representar por y = f(x) donde x se llama variable independiente e y se llama variable dependiente. Si f(x0) = y0, se suele decir que y0 es la imagen de x0 por la función f, o que x0 es un origen de y0. La representación en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x0; y0) se llama grafica de la función f. En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas.

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCIÒN POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONAL

Funciones algebraicas: Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación donde los coeficientes a i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Función polinomial:

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia más alta que aparece de x.

Función racional: En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

f ( x ) = P ( x ) Q ( x )

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis

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