GUÍA DE APRENDIZAJE. Derivada de una función VRL

Alumno: VICTORIA RAMOS LOPEZ

Instrucciones

En la sección Guía de aprendizaje responde las cuestiones que se te indican. Luego lleva a cabo los ejercicios de la segunda sección.  

Recuerda que debes incluir evidencias del proceso que llevaste a cabo para resolver cada problema.

Cuando hayas terminado, guarda las respuestas y envía el archivo a tu asesor.

GUÍA DE APRENDIZAJE

1. Investiga cómo obtener la pendiente de una recta, escribe la formula y un ejemplo de esto.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.

m= tan La pendiente de la recta que pasa por dos puntos P(x1, y1) y P(x2,y2) es:

 m= tan = y2 -y1 / x2 -x1

Ejemplo:

Hallar la pendiente y El ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(2,3) y B(5,8)

Supongamos que 2 es x1, 3 es y1, 5 es x2 y 8 es y2 

m=y2-y1 / x2-x1

m= 8-3 / 5-2

m= 5/3

m= tan

5/3=tan

 59.03 = tan

1. Grafica la siguiente función   [pic 3]

[pic 4]

3.  Obtén la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, f(3))  y (4, f(4)):

A=3,3  B= 4,4

M=2-y1 /x2-x1

=4-3 / 4-3 = 1/1 = 1

[pic 5]

4. Lo que trataremos de hacer es encontrar la pendiente o inclinación en el punto x=3, para lo cual te pediremos que completes la siguiente tabla.

5. Si observas la tabla que completaste, verás que el denominador va disminuyendo y nos vamos acercando al 3, pero el valor de la pendiente se va acercando al 4 (aquí escribe a qué valor se va acercando la pendiente).

6.- En cálculo  podemos escribir lo anterior en forma matemática de la siguiente manera:

        [pic 10]

7.- Ahora, investiga en tu libro de cálculo o páginas de internet la definición de derivada. Escríbela:

La definición formal es:

f'(x) = lim [f(x + h) -f(x)] /

------h x->h

 La interpretación gráfica:

La derivada se interpreta como el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto dado.

Por ejemplo, si: f(x) = x³ -3x + 2 f'(x) = 3x² -3

Si nos piden la pendiente de la recta tangente a la función en x= 1, entonces:

f'(1) = 3(1)² -3 = 3 -3 = 0

Es decir, la recta tangente a la gráfica es horizontal (o paralela al eje de las "x") en el punto

 x = 1.

EJERCICIOS DE DERIVADAS

Ejemplo 1:

Determina la pendiente de f(x)=x2 en el punto x=1

Solución:

Usando la definición de derivada:

m=[pic 11]

Primero lo vamos a hacer usando el punto “a” en forma general y al final sustituiremos el valor de a=1

m=[pic 12]

Factorizando el numerador (diferencia de cuadrados) quedaría de la siguiente forma:

m=[pic 13]

Simplificando, los factores iguales, que en este caso es ( x-a) quedaría:

m=[pic 14]

Ahora sustituimos solamente la x por la “a”  y listo; ya tenemos nuestra pendiente que es la derivada en el punto “(a, f(a))

m= a + a = 2a

¿Se parecen en algo x2    y  2a? en que ambas se encuentran en la recta en el 1 [pic 15]

Finalmente la respuesta es  m=2a=  2(1)=2 que es el valor de la pendiente en el punto (1, f(1))  en el punto donde la x=1

Ejemplo 2:

Hallar la pendiente de la función  en el punto x=2[pic 16]

Solución:  

Usando la definición de derivada:

m=[pic 17]

Como en el ejemplo anterior primero lo vamos a hacer usando el punto “a” y al final sustituiremos el valor de “a”, que en este caso es a=2

Sustituyendo la función tenemos:

m=[pic 18]

Eliminando los paréntesis obtenemos:

m=[pic 19]

y eliminando -3+3=0 nos queda:

m=[pic 20]

Factorizando el numerador (diferencia de cuadrados) quedaría de la siguiente forma:

m=[pic 21]

Simplificando, los factores iguales, que en este caso es ( x-a) quedaría:

m=[pic 22]

Ahora, si sustituimos el valor de  x por la “a” , ya tenemos la pendiente que es la derivada en el punto “(a, f(a))”:

[pic 23]

Ahora sustituyendo para a=2, tenemos:
[pic 24]

Encontramos que la pendiente es  en el punto (2, (f2)) que es el punto donde  x=2[pic 25]

¿Qué relación observas entre la función   y su pendiente  cuando x=a?:[pic 26][pic 27]

¿Qué observas en los resultados de los dos ejemplos con respecto a la función y la  pendiente obtenida en ambos casos?

Que acorde aumenta la función aumenta la pendiente y viceversa

Ejercicios:

Determina la pendiente de cada función en el punto indicado en cada caso, siguiendo los pasos del ejemplo mostrado.

1.- f(x)=en el punto en el que  x=1, pendiente = a 1[pic 28]

2.- f(x)=  en el punto donde x=-3,  pendiente = a 0.5[pic 29]

3.-f(x)=en el punto en el que  x=1,  pendiente = a 1[pic 30]

4.- en el punto en el que  x=2,  pendiente= [pic 31]

5.-    en el punto en el que  x=1, pendiente= 1.3[pic 32]

6.- en el punto en el que  x=-1, pendiente=  pendiente = 1.5[pic 33]

Elaborada por Edgar Silva y Patricia Rodríguez

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN:

Lo anteriormente visto fue el procedimiento para obtener la derivada de una función, dicho proceso en ocasiones resulta complicado; a continuación investigaremos cuáles son algunas fórmulas que tienen como objeto simplificar este proceso de derivación. También debes de tener en mente cada vez que apliques estas fórmulas que la derivada es un límite de la forma anteriormente estudiada.

1. Investiga las notaciones más comunes para la derivada: notación de Newton , notación de Leibniz

y cómo se lee primera derivada y segunda derivada

2. Investiga en la bibliográfica recomendada o en páginas de internet lo referente a las formulas de derivación y completa la siguiente tabla (utiliza la notación correspondiente).

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