Generacion De Variables Aleatorias

Generación de variables aleatorias

TRANSFORMACIÓN INVERSA

Hay una variedad de métodos para generar variables aleatorias. Cada método se aplica solo a un subconjunto de distribuciones y para una distribución en particular un método puede ser más eficiente que otro.

Si la variable aleatoria X tiene una FDA F(x), entonces la variable u = F(x) esta distribuida uniformemente entre 0 y 1. Por lo tanto, X se puede obtener generando números uniformes y calculando x = F-1 (u).

Este método nos permite generar variables aleatorias siempre que se pueda determinar F-1 (x) analíticamente o empíricamente.

Ejemplo (determinación analítica):

Método de Aceptación Rechazo

Este método es más probabilístico que el anterior. Los métodos de inversión, composición y convolución son métodos de generación directos, en el sentido en que tratan directamente con la función de distribución. El método de aceptación-rechazo es menos directo en su aproximación.

COMPOSICIÓN

Este método se puede usar si la FDA F(x) deseada se puede expresar como una suma ponderada de otras n FDA F1 (x), ..., Fn (x):

El número de funciones n puede ser finito o infinito, y las n FDA son compuestas para formar la FDA deseada; de aquí el nombre de la técnica. Esto también se puede ver como que la FDA deseada es descompuesta en otras n FDA; por esto la técnica a veces es llamada descomposición.

La técnica también se puede usar si la función de densidad f (x) puede ser descompuesta como una suma ponderada de otras n densidades:

CONVOLUCIÓN

Esta técnica puede ser usada si la variable aleatoria x puede ser expresada como la suma de n variables aleatorias y1 , ..., yn que puedan ser generadas fácilmente:

En este caso x se puede generar generando n variables aleatorias y1 , ..., yn y sumándolas. Si x es la suma de dos variables aleatorias y1 y y2 , entonces la densidad de x puede se obtenida analíticamente por la convolución de las densidades de y1 y y2 ; de aquí el nombre de la técnica a pesar de que la convolución no es necesaria para la generación de números aleatorios.

Nótese la diferencia entre composición y convolución. La primera se usa cuando la densidad o FDA puede ser expresada como la suma de otras densidades o FDA. La segunda se usa cuando la variable misma puede ser expresada como la suma de otras variables.

A continuación se dan unos ejemplos de aplicación de esta técnica:

Distribución Uniforme

La distribución uniforme en el intervalo (a,b) (U(a,b)) tiene como función de densidad y de

distribución las siguientes:

Método Exponencial

Distribución m-erlang

Esta distribución mide el tiempo que transcurre entre un suceso y el m-ésimo siguiente (es una generalización de la exponencial). Tiene dos parámetros m(m,b) donde b es la media de una distribución exponencial y m es el número de sucesos que se cuentan.

Se pueden generar valores de ésta distribución mediante la convolución de exponenciales, ya que una m-erlang de media b se puede obtener como la suma de m exponenciales de media b/m. El algoritmo de generación queda:

Según lo anterior, al estar los ui’s en el intervalo (0,1), cuantos más

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