Variable Aleatoria

Variable Aleatoria

Una variable aleatoria es aquella cuyos valores provienen de la observación de un fenómeno o experimento aleatorio. Generalmente, las variables aleatorias se representan con las últimas letras mayúsculas del alfabeto (X, Y, Z), y sus posibles valores se representan con minúsculas (x, y, z).

Las variables aleatorias están asociadas a fenómenos en los que no se puede predecir el resultado; no obstante, es posible determinar sus posibles valores y sus frecuencias o probabilidades de ocurrencia, conforme se observan en forma repetida un gran número de veces o cuando se dispone de un espacio muestral bien definido.

Ejemplo:

Considérese el experimento aleatorio en el que se lanza una moneda un par de veces, y en el cual nos interesa la variable aleatoria “número de águilas” que pueden caer. El espacio muestral del experimento esta dado por AA, AS, SA, SS, por lo que la variable aleatoria X = “número de águilas”, puede tomar los valores:

X = 0, cuando el resultado es SS

X = 1, cuando el resultado es AS o SA

X = 2, cuando el resultado es AA

Obsérvese que los eventos del espacio muestral se transformaron a valores numéricos {0, 1, 2} al definir la variable aleatoria.

Ω = {SS, AS, SA, AA}  X = {0, 1, 2}

De manera más formal, podemos establecer que una variable aleatoria es una función numérica que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:

a) Una variable aleatoria discreta puede tomar un número finito o infinito contable de valores. Por lo general estas variables se asocian a procesos de contar, por lo que pueden tomar valores como 0, 1, 2, 3… Por ejemplo: el número de hijos por familia, años de vida de un ser humano, etc.

b) Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor entre un intervalo dado, por tal motivo es común que se expresen mediante rangos de valores. Por lo común estas variables se asocian a procesos de medir. Por ejemplo: la temperatura de una ciudad durante el día, la calificación de un examen, el peso de una muestra de personas sujetas a un tratamiento dietético, etc.

Como las variables aleatorias están asociadas a un fenómeno o experimento aleatorio, es factible determinar las frecuencias o probabilidades con las que ocurre cada resultado, lo cual da lugar a una distribución de probabilidad.

Una distribución de probabilidad se puede representar a través de una tabla, una gráfica o una formula. Por ejemplo, para el lanzamiento de dos monedas en forma simultánea antes mencionado, y en el cual la variable aleatoria X representa el “número de águilas”, se tiene las siguientes probabilidades:

X 0 1 2

P(X) ¼ ½ ¼

P(X = 0) = ¼

P(X = 1) = ½

P(X = 2) = ¼

El ejemplo anterior corresponde a una variable aleatoria discreta. Las distribuciones que se generan con este tipo de variables se denominan distribuciones discretas de probabilidad.

Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta debe satisfacer las siguientes condiciones:

a) Para cada valor de la variable, la probabilidad cae entre 0 y 1.

b) La suma de probabilidades para todos los valores de la variable es igual a 1.

Ejemplo:

Considérese ahora un caso muy común cuando hablamos de probabilidad. Se trata de un dado de 6 caras que es lanzado al aire, y en el cual nos interesa la variable aleatoria “número de puntos de la cara que cae hacia arriba”. Sabemos que la variable aleatoria X puede tomar los valores de 1, 2, 3, 4, 5, 6, con probabilidad de P(X) = 1/6 para cada valor. P(X)

X 1 2 3 4 5 6

P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

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