GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

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Resumen: En este documento se discuten las técnicas de transformación inversa, el método de convolución y más brevemente la técnica de aceptación-rechazo. Otra técnica el método de composición, es discutida por Fisherman [1978] y Law y Kelton [1991]. Todas las técnicas en este documento nos servirá para generar variables aleatorias.

I. INTRODUCCIÓN

En esta sección se trataran procedimientos para muestrear una variedad de distribuciones de probabilidad discretas y continuas ampliamente usadas. En el capítulo 1, “introducción a la simulación” se discutió y se mostraron ejemplos de sistemas diversos donde se dejó clara la importancia de las distribuciones estadísticas para modelar actividades que son generalmente impredecibles o inciertas. Por ejemplo, los tiempos entre arribo y los tiempos de servicio en las colas, y la demanda de un producto, son generalmente impredecibles por naturaleza, al menos en cierta extensión. Usualmente tales variables son modeladas como variables aleatorias con una distribución estadística, y los procedimientos estadísticos estándar existen para estimar los parámetros de la distribución hipotética y para probar la validez del modelo estadístico asumido (como son las pruebas de Ajuste de Bondad), que se cubrirá en la siguiente sección.

Se asume que una distribución ha sido completamente especificada, y se han visto procesos para generar muestras de esta distribución para ser usadas como insumo para un modelo de simulación. El propósito de esta sección es explicar e ilustrar algunas técnicas ampliamente usadas para generar variables aleatorias, y no para llevar a cabo una investigación profunda de las técnicas más eficientes. En la práctica, la mayoría de quién realiza la simulación usará las rutinas existentes en las bibliotecas disponibles en los lenguajes de programación, o en las rutinas de los lenguajes de simulación. Sin embargo, algunos lenguajes de programación no tienen rutinas internas de todas las distribuciones utilizadas. Aunque esto no es muy común, es importante entender cómo se lleva a cabo la generación de variables aleatorias.

II. GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

1. Transformación Inversa

Si la variable aleatoria X tiene una FDA F(x), entonces la variable u = F(x) está distribuida uniformemente entre 0 y 1. Por lo tanto, X se puede obtener generando números uniformes y calculando x = F-1 (u).

Prueba:

Sea u = g(x) tal que x = g-1 (u)

Seleccionemos g(x) de forma que g(x) = FX (x),

u = FX (x), y que u sea una variable aleatoria entre 0 y 1 con distribución dada por:

O sea que u está distribuida uniformemente entre 0 y 1.

2. Método del Rechazo

Esta técnica se puede usar si existe otra función de densidad g(x) tal que cg(x) supera la función de densidad f(x), es decir, cg(x) > f(x) para todos los valores de x. Si esta función existe, entonces se pueden aplicar los siguientes pasos:

2.1. Genere x con la densidad g(x).

2.2. Genere y uniforme en [0, cg(x)].

2.3. Si y ≤ f (x), devuelva x y retorne. De lo contrario repita desde el paso 1.

El algoritmo permanece rechazando las variables x y y hasta que la condición y ≤ f (x) sea satisfecha

Ejemplo: Consideremos la función de densidad beta (2,4):

Esta función se muestra en la figura y puede ser limitada por el rectángulo de altura 2,11. Por lo tanto podemos usar c = 2,11 y g(x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1. La variables beta (2,4) pueden ser generadas como sigue:

2.1. Genere x uniforme en [0, 1].

2.2. Genere y uniforme en [0, 2,11]

3. Si y ≤ 20x (1-x)3 devuelva x y retorne. De lo contrario vuelva al paso 1.

Los pasos 1 y 2 generan un punto (x, y) distribuido

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