Geometria Analitica

Geometría analítica

Gráfica de dos hipérbolas y sus asíntotas.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y)=0, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x+6y=0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x^2 + y^2 = 4, la hipérbola xy = 1), etc.

- La parábola:

1) Al arrojar al aire cualquier tipo de proyectil resulta un movimiento asi.

2)Los puentes colgantes funcionan asi.

3)Si rebotas algo en la pared interna de una, la nueva dirección apunta al foco. Esto se usa en todos los faros de los coches y reflectores.

-Elipse:

1)Describe el movimiento de los planetas.

2)En Monterrey existe algo que se llama la cámara de los susurros. Es una sala con techo en forma de elipse en donde si tu te paras en un punto y otra persona se para a unos metros de tí te podrá escuchar aunque hables muy bajo pero una persona en medio de ustedes 2 no escucha nada. Bueno pues esto funciona por la elipse.

Aplicaciones de la hipérbola

La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales.

Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otro foco con el punto.

Aplicada en astronomía: Trayectorias de cometas.

Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.

En el siguiente esquema se puede ver cómo se pueden combinar las propiedades ópticas de la parábola y la hipérbola para construir un telescopio.

En mecánica se usan en el diseño de estructuras hay algunas veces que los resultados de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola.

Si usas una linterna (cuyo haz de luz es cónico) y la colocas paralela a una pared, el borde de luz que se ve contra la pared es una perfecta hipérbola.

Es bastante común verla en edificios y construcciones arquitectónicas. Si tienes un edificio de sección cuadrada o rectangular con un remate o cúpula cónica (algo similar al edificio Chrysler), la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas.

Aplicaciones de la elipse

La propiedad óptica de la elipse se aplica en las "galerías de murmullos" como la que se encuentra en el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de México, en la cual un orador colocado en un foco puede ser escuchado cuando murmura

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