Geometria Analitica

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

INTRODUCCIÓN

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar

con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad

de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas.

Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más

útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre

vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de

sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los

dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la

implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría

de los problemas que se presentaban con continuidad.

CIVILIZACIONES ANTIGUAS

En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el

avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios papiros escritos en esa

época, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración, basado en la

implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en

sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras

humanas...), los demás números eran escritos por la superposición de estas

mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy

conocemos como el sistema romano.

Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros

sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la solución al problema de

contar los objetos, se vio resuelto con la implementación de un método

sexagesimal. Este método tenía la particularidad de escribir un mismo signo como

la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema.

Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema

decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero.

Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico,

aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como

resultado la resolución a ecuaciones de tipo . La correcta

implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los Indios, aumentó

el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, a demás

que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma .

En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso, a demás

de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución

a sistemas de ecuaciones de la forma , y . Su avance fue tal

que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones. Y en geometría,

se cree que conocían el teorema de Pitágoras, aunque no como un teorema

general. 3

China sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte

principal se basaba en la creación del "método del elemento celeste", desarrollado

por Chou Shi Hié, con el cual era posible la resolución de raíces enteras y

racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma

Pn(x)=a4x

4

+a3x

3

+a2x

2

+a1x+ao.

RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS

En relación con el análisis matemático en este siglo, se

fundamento en un conjunto de procedimientos y métodos de

solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos

estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos,

constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría

de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo

que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central

en este siglo.

Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos

estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de

continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las

funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables

teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua

toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.

También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de

acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la

función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como

función de Bolzano.

Otro de los grandes avances obtenidos en esta época, fue la introducción de la

variable compleja, con ella se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo que

ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de

variable compleja. Matemáticos como Laplace acudieron a la interpretación en

variable compleja, con lo que fue desarrollando el método de resolución de

ecuaciones lineales diferenciales.

Ya en el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de academias

reconocidas en el ámbito de las matemáticas, como la Academia de Londres y

París. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas matemáticas

actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales e infinitesimales,

y el cálculo de probabilidades.

La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso,

cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica

de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el

desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo;

introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas

infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; 4

búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer

término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución

de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de

resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos

científicos: KEPLER, GALILEO, CAVALIERI, TORRICELLI, PASCAL, WALIS,

ROBERVAL, FERMAT, DESCARTES, BARROW, NEWTON, LEIBNIZ y EULER.

El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el

movimiento, es decir al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vació ya que

cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,

teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente

pequeño.

En 1666, el científico inglés ISAAC NEWTON fue el

primero en desarrollar métodos matemáticos para

resolver problemas de esta índole.

Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán

GOTTFRIED LEIBNIZ realizó investigaciones similares e

ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta

nuestros días.

De igual forma, otros matemáticos destacan por

haber hecho trabajos importantes relacionados con el

cálculo diferencial, entre ellos sobresale PIERRE

FERMAT, matemático francés, quien en su obra habla

de los métodos diseñados para determinar los

máximos y mínimos acercándose así al descubrimiento

del Cálculo diferencial.

Isaac Newton (1642-1727)

FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época

era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que

frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse

el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los

Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razón por la que las demostraciones de

FERMAT se hayan perdido.

NICOLAS ORESME, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que

en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima

o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.

JOHANNES KEPLER tiempo después, coincide con lo establecido por ORESME,

conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de máximos y mínimos, las

tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que

la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o su

mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la

tangente es nula. 5

ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del “triangulo

característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus

catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las

ordenadas de los extremos del arco.

NEWTON concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la

trayectoria de

...