Geometria Analitica

ANTECEDENTES

El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana, sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones, algebraicas o no, hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente el término "geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica"). El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama. Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores.

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano.

En pocas palabras podríamos definir a la geometría analítica como “Rama de la geometría en que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas”. En la práctica, eso significa que cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares (Plano cartesiano) anotando las distancias desde dicho punto a cada uno de los ejes.

Ahora tenemos claro que la geometría analítica se desenvuelve en el llamado Plano cartesiano, y si recordamos, como ya dijimos, que Descartes y Fermat observaron la correspondencia entre las ecuaciones algebraicas y las figuras geométricas, podemos colegir que los dos objetivos (o problemas) fundamentales de la geometría analítica son:

1.- Dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos o lugar geométrico (una línea o una figura geométrica) en un sistema de coordenadas, obtener la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos.

2.- El segundo objetivo (o tipo de problema) es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión.

HISTORIA

Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre

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