Geometria Analitica

GEOMETRIA ANALITICA

Parte de las matemáticas que se encarga de la resolución de problemas de la geometría mediante la aplicación del algebra.

SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).

Se traza la recta horizontal xx´, se señala un punto sobre esta, denominado origen de coordenadas, 0. Por el punto 0 trazamos la recta vertical yy`;esto es xx´ yy´(los ejes son perpendiculares entre si). De esta manera, el plano queda dividido en cuatro regiones bien diferenciadas denominas cuadrantes:

 x0y:primer cuadrante(I) x´0y: segundo cuadrante(II)

 x´0y: tercer cuadrante(III) xoy´: cuarto cuadrante (IV)

Se toma una unidad de medida arbitraria y se gradúan los ejes a partir del origen 0: el eje xx´ se gradúa positivamente hacia la derecha de 0 y negativamente a la izquierda. El eje yy´s gradúa se gradúa positivamente hacia arriba del eje xx´y negativa hacia abajo.

Para simplificar , al eje xx´ se le llama eje de las equis (eje x)

y al eje yy´ eje de las y(eje y).

 Abscisas: los números tomados sobre ele eje x miden las distancias en magnitud y signo del origen a los puntos del eje, y reciben el nombre de abscisas. El eje de las x se denomina por lo tanto, eje de las abscisas.

 Ordenadas: los números tomados sobre ele eje y miden las distancias en magnitud y signo del origen a los puntos del eje, y reciben el nombre de ordenadas; por tanto, el eje y recibe el nombre de eje de las ordenadas.

 Coordenadas de un punto: establecido en un plano un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que se llaman coordenadas del punto. A la derecha de la letra correspondiente del punto se escriben, entre paréntesis y separados por una coma, las coordenadas de éste, primero el valor de la abscisa y luego el de la ordenada. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5: se tiene A(3, 5).

Existen dos casos:

Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichas coordenadas, se trazan por el punto paralelo a los ejes y se determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes.

Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una recta perpendicular por la abscisa y otra por la ordenada del punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano.

Nota: el origen, coordenado, del plano está representado por O (0, 0). Los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el eje y; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el eje x.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

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