Geometria Y Media Armonica

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CHIHUAHUA

ESTADISTICA

MEDIA GEOMETRICA Y MEDIA ARMONICA

MAESTRA: BUSTILLOS VILLAGRAN ROSALVA

MEDIA GEOMETRICA

En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.

PROPIEDADES

• El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.

• La media geométrica de un conjunto de números positivos es siempre menor o igual que la media artimética:

La igualdad sólo se alcanza si .

VENTAJAS

• considera todos los valores de la distribución y

• es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.

DESVENTAJAS

• es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética,

• su cálculo es más difícil y

• en ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valor entonces la media geométrica se anula.

Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hubiera un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica sería o bien negativa, o bien inexistente en los números reales.

En muchas ocasiones se utiliza su trasformación en el manejo estadístico de variables con distribución no normal.

La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.

MEDIA GEOMÉTRICA PONDERADA

Al igual que en una media aritmética pueden introducirse pesos como valores multiplicativos para cada uno de los valores con el fin de ponderar o hacer pesar más en el resultado final ciertos valores, en la media geométrica pueden introducirse pesos como exponentes:

Donde las son los «pesos».

MEDIA ARMONICA

La media armónica, denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

PROPIEDADES

1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.

2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.

3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera números reales positivos :

VENTAJA

• Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

DESVENTAJAS

• La influencia de los valores pequeños y

• El hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

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