INFLUENCIA DE LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

INFLUENCIA DE LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

LÓGICO

INTRODUCCIÓN

El concepto procedimiento se emplea con frecuencia en la literatura Psicológica y pedagógica. Por procedimiento lógico del pensamiento entendemos aquellos procedimientos más generales, que se utilizan en cualquier contenido concreto del pensamiento, se asocian a las operaciones lógicas del pensamiento y se rigen por reglas y leyes de la lógica. De aquí se desprende la amplitud de su aplicación.

En la práctica, los procedimientos lógicos siempre aparecen ligados a un contenido concreto, que depende del campo de aplicación y que le añade un componente específico, en una estrecha interrelación con el componente general.

Aunque existe un estrecho nexo entre estos dos componentes, ellos son relativamente independientes, lo cual se expresa en la posibilidad del individuo que domina el procedimiento, de aplicar la parte lógica a cualquier contenido específico.

Los procedimientos lógicos no dependen del contenido concreto mientras que los procedimientos específicos pueden ser utilizados sólo en una esfera determinada. Por otro lado, en la actividad real del hombre, los procedimientos lógicos siempre se ejecutan con algún contenido específico.

Los procedimientos lógicos asociándolos a las formas lógicas del pensamiento se pueden clasificar: (Campistrous 1993)

1. Procedimientos lógicos asociados a conceptos

Reconocer propiedades

Distinguir propiedades: esenciales, necesarias, suficientes

Identificar el concepto

Definir

Clasificar

Deducir propiedades

2. Procedimientos lógicos asociados a juicios Determinar valor de verdad Transformación de juicios

Modificar juicios

3. Procedimientos lógicos asociados a razonamientos

Realizar inferencias inmediatas Deducción por separación Refutación

Realizar inferencias silogísticas elementales

Demostración directa Demostración indirecta Argumentación

Realizar inferencias reductivas

Centraremos nuestra atención en los procedimientos lógicos asociados a razonamientos. Estos procedimientos se utilizan con mucha constancia en la enseñanza y sin ellos es imposible el pensamiento pleno del hombre. Abordaremos en particular la deducción o razonamiento deductivo.

DESARROLLO

La intención de elaborar una propuesta didáctica (PD)que mejore las condiciones del aprendizaje de las matemáticas, requiere de un estudio minucioso, profundo y detallado del desarrollo del pensamiento. Al respecto, la Psicología cognoscitiva sostiene que lo que se aprende debe ser racional y estructurado: el problema principal al cual se enfrenta el estudiante consiste en relacionar un orden exterior con un orden interior; a ello la epistemología-psicología lo denomina “cultivo de la racionalidad”.

El alumno y el profesor saben que el contenido conlleva la adquisición de un conocimiento nuevo; pero también deben saber que hay una lógica interna del problema planteado y que el alumno puede construir ese conocimiento sin apelar a una razón didáctica impertinente; de tal manera que el docente efectúa no sólo la comunicación de un conocimiento, sino también la transmisión de “un buen problema” (Brosseau, 1981). Por ello conviene tomar una posición teórica previa antes de planificar una PD; por cuanto en la medida en la cual se logra profundizar en un hecho, en esa medida el dominio sobre el conocimiento es mayor y mejor.

Por lo tanto una didáctica que pretenda fundamentarse en la experiencia (no en el empirismo) debería destacar cuáles son las experiencias necesarias para desencadenar la actividad lógico- matemática; la empiria no proviene de los objetos, sino de la actividad sobre los objetos (Piaget, 1982)

Sin embargo, también hay que tomar en consideración que si bien la afirmación anterior puede ser cierta, el conocimiento proviene de las propiedades reales de la realidad y éstas son tan importantes como las operaciones sobre el objeto de conocimiento. La planificación de una PD que permita el acceso al aprendizaje lógico-matemático, es “una necesidad social” e implica la “actualización” de la acción educativa. Sin embargo, los contenidos que intentan la modernización son solamente “contenidos en la preparación académica de maestros y pedagogos” y creemos que debe integrarse en la formación del docente un componente socio-político sobre el quehacer cotidiano.

Al respecto, muchas expresiones usadas en nuestras aulas son insatisfactorias. Tomemos el siguiente ejemplo:

“Si se agregan dos segmentos de rectas a y b, la longitud del nuevo segmento se obtiene agregando la longitud de b a la longitud de a”. De acuerdo con Carnap (1985), en la primera parte de la expresión la recta parece ser un objeto físico y en la segunda incita a la realización de una operación aritmética. Probablemente esto se debe a que se interpreta la teoría matemática como un producto de los datos de la experiencia y, a su vez, porque consideramos la teoría como una copia de la realidad. Asimismo, una “propuesta didáctica” inadecuada origina incomprensión en los conceptos de fracción, que se confunda el área con el perímetro, no se desarrollen conceptos como los de volumen, peso, magnitud, entre otros y así oímos expresiones como: “no sabe como lo hizo, pero el resultado es correcto”. Una “propuesta

didáctica inadecuada” es simplificada por Ávila (1991), de la manera siguiente (en un aula):

Profesor: Esta figura es un...

(Muestra un trapecio)

Alumnos: ¡trapecio!

Profesor: Vamos a calcular su ... Alumnos: ¡Área! Profesor: La fórmula para calcular su área es

suma de las bases sobre ...

Alumnos: ¡Dos!

Profesor: Por la ... Alumnos: ¡Altura!

Al respecto, Balbuena (1991), afirma que en muchos casos al enseñar la suma (o la resta) el maestro expresa que se “requiere sumar las decenas y escribir las decenas”. Los autores sostienen que esta lógica es desconocida por el alumno, incomprensible; no sabe el por qué, para qué y que tales acciones implican un algoritmo para la operación, pero no para la abstracción.

Una PD adecuada planifica situaciones problemáticas que representan un reto para los alumnos. Al respecto, Fuchs (1969) sostiene que las expresiones lógico-matemáticas no poseen una condición espacial o sensorial, como muchos docentes suponen; afirma, además, que puede ayudarse con imágenes (que constituye una nueva manera de expresarse), y que ella misma no tiene que ser, necesariamente, abstracta; sino que probablemente posee un sustrato manifiestamente representable. Por lo tanto, la “propuesta didáctica” debe ir más hacia lo conceptual, que el signo. Al respecto, Frege (citado por Wittgenstein, 1993) sostiene que “los formalistas confunden el signo con el significado; que las expresiones lógico-matemáticas no son solamente rayas, sino que por el contrario, poseen vida”.

Retomando lo expresado por Carnap, anteriormente citado, la adición de las dos rectas es posible si se expresa en un lenguaje deductivo que implique la suma de los valores cualitativos y no las longitudes de las rectas. Las líneas son configuraciones producto de la experiencia física, y así podemos llegar a pensar que se puede realizar: L(a + b) = L(a) + L(b), y por el contrario, las líneas son configuraciones producto de la expresión sensorial. Un diseño instruccional productivo en el aprendizaje lógico matemático debería considerar como importante la construcción, en el estudiante, de una epistemología previa que permita distinguir la relación que hay entre un hecho como realidad física y el aspecto normativo del pensa,r y asimismo, la axiomática que conduce a la solución del problema a lo que nos referimos y por lo tanto, destacamos como importante la construcción de un marco de referencia

lógico-matemático previo, es decir, que el estudiante aprenda a seriar, ordenar, clasificar, establecer relaciones, identidades, etc.

Un tema de investigación importante (a nuestro modesto entender) en esta área del conocimiento, consiste en la proposición de PD dirigidas a evitar los fracasos. Tal como sostiene Brosseau (1991) observamos en los docentes dos conductas características: por una parte, si los alumnos fracasan el docente tiende a proveer una “nueva oportunidad” (plantea un problema “igual al viejo”) y en consecuencia, la solución se obtiene por la repetición y no por la comprensión. Por otra parte, el docente debe estar consciente de que el proceso didáctico sufre también de “envejecimiento” que se observa en la repetición de los mismos procedimientos didácticos y que éstos no tienen el mismo efecto.

Los autores observan que en aquellos procesos donde el docente interviene menos hay menor fracaso y “menos envejecimiento” (y preguntamos ¿qué se repite?: igual historia, análoga secuencia de estrategias, el mismo discurso, etc.)

La construcción de un marco de referencia lógico matemático requiere de una

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