INTRODUCCION A LA DERIVADA

INTRODUCCION A LA DERIVADA

Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x(Δx).

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

Δy = [f(a+h) − f(a)]

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Tasa de variación media

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por  ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:[pic 2][pic 3]

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Interpretación geométrica

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

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Ya que en el triángulo PQR resulta que:

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Ejemplos

1. Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

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2. El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.

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Derivada de una función en un punto (pendiente de la recta tangente a un punto de la gráfica de una función)

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

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Ejemplos

1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

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2. Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

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Interpretación geométrica de la derivada

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Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

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La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Ejemplos

Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

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Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

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Velocidad instantánea

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Ejemplo

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1. la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

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2. La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

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La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

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Ejemplos 

1. Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

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2. Hallar f'(−1), f'(0) y f'(1).

f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3

f'(0) = 2(0) − 1 = −1

f'(1) = 2(1) − 1 = 1

Derivada por la izquierda

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Derivada por la derecha

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Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivada de las funciones a trozos

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Ejemplos 

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

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Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

[pic 43][pic 44]

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

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