INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA DERIVADA

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA DERIVADA (resumen)

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia siglo III a.c, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después

En cunato a la derivada, hay 2 conceptos principales que le dieron origen:

1)El problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge

Apolonio de Perge, Apolonio de Perga o Apolonio de Pérgamo (Griego antiguo: Ἀπολλώνιος) (Perge, c. 262 - Alejandría, c. 190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.

También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.

Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra.

En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Apolonio de Perge (circa 262 a. C. - circa 190 a. C.) propuso y resolvió este problema en la obra Ἐπαφαί, (Epaphaí, «Tangencias»). Aunque esta obra se ha perdido, se conserva una referencia a ella en un manuscrito redactado en el siglo IV por Pappus de Alejandría. Las circunferencias dadas son de radio arbitrario, es decir, incluyen los casos extremos de radio nulo (un punto) y de radio infinito (una recta), lo que proporciona hasta diez tipos de problemas de Apolonio. Excluyendo a las familias de posiciones particulares que presentan infinitas soluciones, o ninguna, y a las familias de posiciones que, por simetría, tienen algunas soluciones equivalentes o prohibidas, la resolución general del problema resulta en ocho circunferencias que son tangentes a las tres circunferencias dadas.

El enunciado original del problema de Apolonio pide la construcción de una o más circunferencias que sean tangentes a tres objetos dados. Los objetos pueden ser rectas, puntos o circunferencias de cualquier tamaño. Estos objetos pueden ser colocados en cualquier disposición y se pueden cortar unos a otros; sin embargo, se suelen tomar diferentes, es decir, que no coincidan. Las soluciones del problema a veces se llaman «circunferencias de Apolonio», aunque este término también se usa para otros tipos de circunferencias asociadas con Apolonio.

2)El problema de los extremos máximos y mínimos de Pierre de Fermat

El teorema de Fermat para el análisis matemático afirma que:

Si una función f alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la derivada f '(c) existe en el punto c, entonces f '(c) = 0.

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 20 de agosto de 1601;[1] Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los aficionados».[2]

Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue co-fundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1993 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor.

Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.

En el siglo XVIILos matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como símbolos y el símbolo de la integral .

CONCEPTOS Y APLICACIONES DE LA DERIVADA

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada

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