INTRODUCCION A MATRIZ

Introducción

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1n.

Ejemplo

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.

Ejemplo

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Ejemplo

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n  m.

Ejemplo

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j.

Ejemplos

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.

Ejemplos

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Ejemplos

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Ejemplos

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplos

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Ejemplos

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0  i<j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 j<i.

Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2. (At)t = A.

Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A  (–A)  0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A  (–B)

Producto de una matriz por un número

El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k•aij.

Ejemplo

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k•A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)

2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)

3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)

4. 1•A = A (elemento unidad)

Propiedades simplificativas

1. A + C = B + C  A = B.

2. k A = k B  A = B si k es distinto de 0.

3. k A = h A  h = k si A es distinto de 0.

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m n y B dimensión n p, la matriz P será de orden m p. Es decir:

Ejemplos

Propiedades del producto de matrices

1. A•(B•C) = (A•B)•C

2. El producto de matrices en general no es conmutativo. (Ejemplo)

3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A•In = In•A = A.

4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A•B = B•A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .

5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A•(B + C) = A•B + A•C

Consecuencias de las propiedades

1. Si A•B= 0 no implica que A=0 ó B=0. (Ejemplo)

2. Si A•B=A•C no implica que B = C. (Ejemplo)

3. En general (A+B)2A2 + B2 +2AB,ya que A•B  B•A.

4. En general (A+B)•(A–B) A2–B2, ya que A•B  B•A.

Matrices inversibles

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.

Porpiedades de la inversión de matrices

1. La matriz inversa, si existe, es única

2. A-1A=A•A-1=I

3. (A•B) -1=B-1A-1

4. (A-1) -1=A

5. (kA) -1=(1/k•A-1

6. (At) –1=(A-1) t

Observación

Podemos encontrar matrices que cumplen A•B = I, pero que B•A I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".

Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:

• Directamente (Ejemplo)

• Usando determinantes

• Por el método de Gauss-Jordan

• Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

• Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

• Ejemplo

• Si tenemos una matriz tal que det (A)  0, se verifica:

•

• Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

• Ejemplo

Queremos calcular la inversa de

1. Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad,

2. Triangularizamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha.

Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.

3. Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha.

4. Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente.

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