Introducción a Matriz Inversa

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Índice

Contenido

Índice        

Introducción a Matriz Inversa        

Método de Gauss        

Ejercicio A        

Comprobación ejercicio A        

Ejercicio B        

Ejercicio C        

Comprobación ejercicio C        

Aplicación de matriz en Ingeniería Aeronáutica        

Conclusión        

Bibliografía        

Introducción a Matriz Inversa

En éste proyecto analizaremos y explicaremos como determinar una matriz inversa del mismo modo explicaremos la comprobación para saber si nuestro resultado es el correcto.

Para comenzar a hablar sobre matriz inversa es necesario recordar primeramente lo que es una matriz:

• Conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Ejemplo[pic 5]

Habiendo recordado lo que es una matriz continuemos con matriz inversa

Se dice que una matriz cuadrada “A” es inversa, si existe una matriz “B” con la propiedad de

A·B = B·A = I

Siendo “I” la matriz identidad. Denominamos a la matriz “B” la inversa de “A” y la denotamos por A-1. Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular.

Existen tres métodos para calcular la matriz inversa los cuales son:

• Aplicando la definición y resolver los sistemas de ecuaciones correspondientes.
• Método de Gauss
• Por determinantes y adjuntos

Nos enfocaremos en el Método de Gauss para poder encontrar la matriz inversa.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

• Todos los coeficientes son ceros.
• Dos filas son iguales.
• Una fila es proporcional a otra.
• Una fila es combinación lineal de otras.

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Para explicar un poco mejor como realizar el método de Gauss, resolveremos 3 matrices y además realizaremos su comprobación.

Las matrices a resolver son:

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Ejercicio A

Primeramente debemos agregar una matriz identidad del lado derecho de nuestra matriz A.

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Nuestra primera matriz debe quedar como la segunda, para esto utilizaremos el método de Gauss al sumar, restar o multiplicar para poder llegar a una matriz identidad.

Primeramente procederemos a cambiar los números de la fila 3, haciendo la operación.

F3-F2 A la fila 3 le restamos la fila 2.

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Como podemos ver hemos modificado 3 números, dejando el 0 y el 1 correctos, sólo será necesario eliminar uno.

Ahora para dejar la fila 2 con números más pequeños haremos lo siguiente:

F2-4F1 A la dila 2 le quitaremos 4 veces la fila 1.

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Ahora nuestra matriz está conformada por números pequeños, sólo necesitamos hacer unos últimos pasos.

F1-F3 A la fila 1 le restamos la fila 3.

[pic 12]

Como podemos ver ya solamente nos falta convertir dos números.

F2+F1 A la fila 2 le sumamos la fila 1.

[pic 13]

Y finalmente realizamos el último paso para cambiar el número que falta

F3-F2 A la fila 3 le restaos la fila 2.

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Comprobación ejercicio A

Para realizar la comprobación, debemos multiplicar nuestra matriz original por la matriz inversa resultante:

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(1) (1) + (1) (-3) + (1) (3) = 1
(1) (1) + (1) (2) + (1) (-3) = 0
(1) (-1) + (1) (-1) + (1) (2) = 0

(3) (1) + (5) (-3) + (4) (3) = 0                        
(3) (1) + (5) (2) + (4) (-3) = 1                                
(3) (-1) + (5) (-1) + (4) (2) = 0[pic 17]

(3) (1) + (6) (-3) + (5) (3) = 0
(3) (1) + (6) (2) + (5) (-3) = 0
(3) (-1) + (6) (-1) + (5) (2) =1

Como podemos ver la multiplicación nos da por resultado una matriz identidad con lo cual podemos saber que nuestro resultado es el correcto.

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