Infinito

Un artículo sobre el infinito en un Archivo de la Historia de las Matemáticas presenta problemas especiales. ¿Se concentra uno puramente en los aspectos matemáticos del tema o se consideran los aspectos filosóficos o incluso religiosos?. En este artículo

Esto es particularmente cierto en tiempos de los antiguos griegos, como escribe Knorr en [26]:- "La interacción de filosofía y matemáticas en raras ocasiones se revela con tanta claridad como en el estudio del infinito entre los antiguos griegos. Los enigmas dialécticos de los Eleáticos del siglo V, refinados por Platón y Aristóteles en el siglo IV, y complementados con la invención de métodos precisos de límites, como los aplicados por Eudoxo en el siglo IV y Euclides y Arquímedes en el III". Por supuesto, desde el momento en que la gente comenzó a pensar acerca del mundo en que vivían, surgieron las preguntas sobre el infinito. Había preguntas sobre el tiempo. ¿Apareció el mundo en un instante concreto o siempre había existido?. ¿Existiría para siempre o tendría un final determinado?. Entonces comenzaron las preguntas sobre el espacio. ¿Qué sucede si se permanece viajando en una dirección concreta?. ¿Se alcanzaría el final del mundo o se podría viajar para siempre?. De nuevo, sobre la Tierra se pueden ver las estrellas, planetas, el Sol y la Luna, pero ¿era este espacio finito o se extendería para siempre?. Las preguntas de arriba son fundamentales y han puesto en problemas a los pensadores a lo largo de toda la historia. Hay preguntas más sutiles acerca del infinito las cuales fueron también formuladas en una etapa en que la gente comenzaba a pensar profundamente sobre el mundo. ¿Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto?. ¿Podría hacerlo indefinidamente?. <center Deberíamos comenzar nuestro relato sobre el infinito con el Eleático del siglo V Zenón. Los primeros griegos habían llegado al problema del infinito en una etapa temprana en su desarrollo de la ciencia y las matemáticas. En su estudio de la materia hicieron la pregunta fundamental: ¿se puede dividir de forma continua la materia en trozos más y más pequeños o se alcanza una pieza tan diminuta que no puede dividirse aún más?. Pitágoras había argumentado que "todo son números" y su Universo estaba hecho de un número finito de números naturales. Entonces llegaron los Atomistas que creían que la materia estaba compuesta de un número infinito de indivisibles. Parménides y la Escuela Eleática, con Zenón incluido, argumentaban contra los Atomistas. Sin embargo las paradojas de Zenón demuestran que ambos creían que la materia es continuamente divisible y la creencia en la teoría atómica llevó a ambos a aparentes contradicciones. Por supuesto estas paradojas surgen del infinito. Aristóteles no pareció apreciar por completo la relevancia de los argumentos de Zenón sobre el infinito ya que el infinito no le preocupaba en absoluto. Introdujo una idea que dominaría el pensamiento durante dos mil años y es aún un argumento persuasivo para alguna gente hoy día. Aristóteles argumentaba contra el infinito real y, en su lugar, consideraba un infinito potencial. Su idea era que nunca podremos concebir los números naturales como un todo. Sin embargo son potencialmente infinitos en el sentido que dado un conjunto finito siempre podemos encontrar un conjunto finito mayor. Es de importancia para nuestra discusión el notable avance hecho por los Babilonios quienes introdujeron la idea de un sistema numérico posicional el cual, por primera vez, nos permitía una representación concisa de los números sin limitar su tamaño. A pesar de los sistemas numéricos posicionales, el argumento de Aristóteles es bastante convincente. Solo un número finito de números naturales ha sido alguna vez escrito o pensado. Si L es el mayor número pensado hasta ahora entonces podemos ir más lejos y escribir L + 1, o L2 pero aún pueden pensarse mucho otros finitos. Aristóteles discutía esto en sus Capítulos 4-8 del Libro III de Física (ver [36]) donde afirma que negar que exista el infinito real y permitir solo el infinito potencial no sería un obstáculo para los matemáticos:- "Nuestra labor no es robarle a los matemáticos su ciencia, refutando la existencia real del infinito en la dirección de incremento, en el sentido de infranqueable. A decir verdad ellos no necesitan el infinito y no lo usan. Solo postulan que una línea recta finita puede ser prolongada tanto como se desee. Cantor, unos dos mil años más tarde, argumentaba que Aristóteles estaba haciendo una distinción que estaba solo en su uso de las palabras:- "... en realidad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada, en el grado que como concepto de infinito potencial siempre apunta hacia un concepto de infinito real lógicamente anterior de cuya existencia depende". Llegaremos a las ideas de Cantor hacia el final del artículo pero por el momento tengamos en cuenta el efecto que tuvo Aristóteles en los posteriores matemáticos griegos al permitir solo el infinito potencial, particularmente sobre Euclides; ver por ejemplo [36]. ¿Cómo entonces, podríamos preguntarnos, fue capaz Euclides de probar que el conjunto de números primos es infinito en el 300 A.C? Bien, la respuesta es que Euclides no probó esto en Elementos. Esto es simplemente una formulación moderna de lo que Euclides afirmó en realidad en su teorema, de acuerdo con la traducción de Heath, dice:- "Los números primos son mayores que cualquier magnitud asignada de números primos". Por tanto, lo que de hecho probó Euclides era que los números primos son infinitos potenciales pero en la práctica, por supuesto, esto es lo mismo. Su prueba demuestra que dada una colección finita de números primos debe haber un número primo que no esté en el grupo. Deberíamos debatir otros aspectos del infinito que juegan un papel crucial en Elementos. Allí Euclides explica el método de exhausción de Eudoxo de Cnida. A menudo este método se usa para considerar el círculo como límite de polígonos regulares cuando el límite de lados aumenta hasta infinito. Deberíamos enfatizar firmemente, sin embargo, que esta no es la forma en la que los antiguos griegos observaron el método. En lugar de esto fue un argumento de reducción al absurdo el que evitó el uso del infinito. Por ejemplo, para probar que dos áreas A y B son iguales, el método asumiría que el área de A es menor que la de B y entonces derivar una contradicción tras un número finito de pasos. De nuevo asumiendo que el área de B es menor que la de A también nos lleva a una contradicción en un número finito de pasos. Recientemente, sin embargo, han salido a la luz prueba que sugieren que no todos los antiguos matemáticos griegos se sentían restringidos a tratar solo con el infinito potencial. Los autores de [32] han dado apuntado una forma sorprendente en que Arquímedes investigó el número infinito de objetos en El Método, un manuscrito de Arquímedes:- "... Arquímedes tomó tres pares de magnitudes infinitas en número y afirmó que eran, respectivamente "iguales en número". ... Sospechamos que no existió ningún otro lugar conocido en la matemática griega - o, de hecho, en los antiguos escritos griegos - donde los objetos infinitos en número se les llame iguales en magnitud. ...La sugerencia de que cierto objetos, infinitos en número, son "iguales en magnitud" a otros implica que no todos estos objetos, infinitos en números, son tan iguales. ... Tenemos aquí muchos objetos infinitos - con definidas y diferentes magnitudes (es decir son cercanos en número); tales magnitudes son manipuladas de una forma concreta, aparentemente por algo similar a una correspondencia uno a uno. ... en este caso Arquímedes trata los infinitos reales casi como si poseyeran números en el sentido habitual..." Incluso cuando la mayoría de matemáticos aceptaron los argumentos del infinito potencial de Aristóteles, otros argumentaban casos de infinito real. En el siglo I A.C. Lucrecio escribió su poema De Rerum Natura en el cual argumentaba contra un Universo limitado en el espacio. Su argumento es simplemente uno. Supongamos que el Universo fuese finito por lo que tendría que tener un límite. Ahora si nos aproximamos al límite y lanzamos un objeto en él no habría nada que lo detuviera ya que cualquier cosa que pudiese pararlo estaría más allá del límite y nada puede existir más allá del Universo por definición. Ahora sabemos, por supuesto, que el argumento de Lucrecio es falso dado que el espacio podría ser finito sin tener límite. Sin embargo durante muchos siglos el argumento del límite dominó el debate sobre si el espacio era finito. Eso se agrandó por los teólogos que argumentaban en favor del infinito real. Por ejemplo San Agustín, el filósofo cristiano que trasladó gran parte de la filosofía de Platón al cristianismo a principios del siglo V D.C, argumentaba en favor de un Dios infinito y también un Dios capaz de pensamientos infinitos. Escribió en su trabajo más famoso Ciudad de Dios:- "Tal como digo que tales cosas infinitas son pasado en el conocimiento de Dios podrían también saltar precipitadamente este agujero de impiedad, y digo que Dios no conoce todos los números. ... ¿Qué loco diría eso? ... Sería miserable atreverse a presumir que tiene límites en su sabiduría". Los matemáticos hindúes trabajaron en la introducción del cero en su sistema numérico durante un periodo de unos 500 años empezando con Brahmagupta en el siglo VII. El problema que se encontraron fue qué hacer con el cero respecto a las operaciones aritméticas habituales. Bhaskara II escribió en Bijaganita:- "Una cantidad dividida por cero se

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