Limite infinito

Limite infinito

limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo:

Limites al infinito con sus asíntotas

Le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.

También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta; o que ambas presentan un comportamiento.

Una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales. El caso posiblemente más curioso es el de una función que tenga infinitas asíntotas de este tipo. El ejemplo más conocido es el de la función . La razón es la siguiente:

Como tenemos que los candidatos a asíntota vertical de esta función son los valores que anulen el denominador.

Por otra parte, la ecuación tiene infinitas soluciones, en concreto todos los números de la forma con .

Se puede comprobar de forma sencilla (con los límites anteriores) que tiene una asíntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo que tiene infinitas asíntotas verticales. Lo vemos en su gráfica (las asíntotas en azul):

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma . Una función puede tener, como máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráfica y otra por la derecha de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:

Asíntota oblicua por la izquierda

Si da un resultado distinto de y procedemos con el cálculo de de esta forma:

Si da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni ni ), entonces la recta es una asíntota oblicua para por la izquierda.

Asíntota oblicua por la derecha

Si da un resultado distinto de y procedemos con el cálculo de de esta forma:

Si da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni ni ), entonces la recta es una asíntota oblicua para por la derecha.

Podemos encontrarnos entonces el siguiente caso

Funciones que no tienen asíntotas oblicuas

Por ejemplo, la función no tiene asíntotas oblicuas ya que al calcular tanto por la izquierda como por la derecha obtenemos . Su gráfica es la parábola que nos solemos encontrar con más frecuencia:

Funciones que tienen una asíntota oblicua por los dos lados

Por ejemplo, la función tiene una única asíntota oblicua, que además lo es por los dos lados. Veamos cuál es exactamente dicha asíntota:

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