Introducción a la matemática diferencial

INTRODUCCION

        Las derivadas son funciones matemáticas, que se a partir del siglo XVII dieron solución al calculo infitesimal. Hoy en día no es posible entender el mundo que nos rodea sin hacer el uso de estos cálculos científicos. Las derivadas no sólo se aplican a campos de estudio tales como la relatividad, mecánica cuántica, ingeniería, o ecuaciones diferenciales. También son de gran utilidad en los estudios sociales de sistemas dinámicos, probabilidades, estádisticas y computación.

A simple vista se puede ver el uso extenso de las derivadas, sin embargo, su uso se limita a funciones de una sola variable dependiente, debido a la dificultad implicita al tratar de describir una derivada de una función multivariable, ya que existe un número infinito de lineas tangentes en cada punto de la superficie que describa la función. Es aquí donde entra el uso de la derivación parcial; la cual es la acción de derivar y tomar como constante a cada una de las variables independientes. Al realizar esta operación obtenemos una expresion que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente de dicha funcion en un punto dado.

Esta recta es paralela plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que represente los valores de la función.

        La aplicación de la derivación parcial es muy extenso, se puede ejemplificar el estudio de la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables con respecto de sus variables con respecto de una de sus variables independientes.

Al igual que sucede con las derivadas de una variable independiente es posible calcular las derivadas parciales de orden superior de una función dada, siempre y cuando tales derivadas existan, además, artificios como la regla de la cadena también aplican al calculo diferencial multivariable.

CONCLUSION

Una derivada parcial de función de diversas varaibles, no es más que la derivada con respecto a cada una de esas varaibles, mientras se toma a otra como constante, Aplicando las reglas de diferenciación y reglas de la cadena, que fueron anteriormente aplicadas a derivación de una sola variable independiente.

Existen variedad de teoremas fundamentados en el calculo diferencial multivariable como podría ser el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.

El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

Las derivadas parciales nos permiten comprender los conceptos y métodos fundamental de la teoría de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y la teoría de funciones analíticas, que a su vez representan una solución práctica para muchos fenómenos físicos que contribuyen al desarrollo tecnológico y social de la humanidad.

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