LA MEDIA ARITMÉTICA El artículo de Strauss y Bichler

LA MEDIA ARITMÉTICA

Israel  García Alonso   y        Juan Antonio García Cruz Universidad de La Laguna

Formación del Profesorado e Investigación

en Educación Matemática (2004) vol.6, 197-217.

LA MEDIA ARITMÉTICA

Israel García Alonso Juan Antonio García Cruz

Universidad de La Laguna

Resumen.

En este artículo se hace una revisión de tres trabajos que versan sobre la media aritmética. Cada uno de ellos trata distintos aspectos de dicho concepto.

El primer artículo trata sobre la distintas características que presenta la media y cómo las comprenden los alumnos. El segundo se centrará en la representatividad que tiene la media aritmética y en las dificultades que presenta a los alumnos. Y el tercer y último trabajo, trata de cómo esas dificultades se extienden incluso a alumnos que están en la universidad y dará algunas ideas de por qué ocurre esto.

Abstract

This paper consists of a revision of three other papers about the arithmetic mean. Different aspects of the mean are outlined. The first one deals with characteristics that are present in the mean and the development of children’s understanding. The second one focuses on its representativeness and difficulties that students have to cope with it. And the third paper is about the mistakes that, even university students, have when they cope with arithmetic mean and why it happens to them.

Introducción

Con este artículo pretendemos dar una visión de algunos estudios realizados sobre la media aritmética. Para ello hemos escogido tres  artículos sobre la  media aritmética que, en cierto modo, han ido marcando distintas pautas de investigación sobre el concepto. Cada uno se centra en aspectos distintos de la media aritmética. Así, el primer artículo trata sobre las características que presenta este concepto, el segundo se centra en una de estas características: la representatividad. El tercer artículo hace un estudio de las dificultades que los estudiantes universitarios tienen con la media aritmética.

Estos artículos tienen en común la dificultad que tienen los alumnos con el concepto de media aritmética y todo lo que ello conlleva, y cómo, a pesar de lo simple que puede resultar su cálculo, las dificultades que presenta. Es más, las investigaciones indican que incluso los maestros en formación tienen dificultades de comprensión.

El artículo de Strauss y Bichler: The development of children’s concepts of the arithmetic average

Esta investigación se llevó a cabo en Israel con dos objetivos bien diferenciados. Por un lado se pretendía analizar las propiedades del concepto de promedio, y por otro se quería evaluar los efectos que podrían producir los materiales, tanto respecto del tipo de dato (continuo-discreto) como del medio empleado (historia, concreto, numérico). Además se planteó la posibilidad de diferentes caminos para desarrollar la comprensión de las propiedades de la media aritmética.

La metodología fue la denominada “modelo de desarrollo evolutivo”. Consiste en conocer cómo van evolucionando los elementos claves del concepto a lo largo de una etapa. Este conocimiento nos va a permitir influir de manera significativa en su instrucción. Para ello, escogieron a 80 alumnos de 8, 10, 12 y 14 años. Un dato importante que debe tenerse en cuenta es que los alumnos reciben instrucción sobre la media aritmética a los 12 años.

La media aritmética es un concepto que los alumnos no asimilan de manera espontánea. Por esta razón, y por estar incluido en el currículo realizaron esta investigación.

Lo primero que se plantearon los investigadores fue conocer cuáles son las características que tiene la media aritmética. Si se conocen, se puede construir mejor el concepto y caracterizar las dificultades que se presentan cuando se construye.

Según Strauss y Bichler, las características que debemos tener en cuenta las engloban atendiendo a tres aspectos:

• Estadístico

• Abstracto

• Representativo

Estadístico

1. La media está localizada entre los valores extremos. No se puede dar un valor de la media que se encuentre por encima del máximo valor que toman los datos, ni por debajo del mínimo.
2. La suma de las desviaciones a la media es cero. Si la media de 3, 5 y 7 es 5, entonces ocurre que (3-5) + (5-5) + (7-5) = 0. Esta propiedad proviene directamente del cálculo que hacían los griegos para hallar la media aritmética. Ellos sólo la calculaban para dos valores y era aquel

valor x que cumplía que:      a − x = x − b . Si lo extendemos a más valores

logramos la propiedad que antes indicábamos.

1. La media se ve influenciada al añadir otros datos distintos de la media. Desde que se añada otro dato nuevo en una distribución, la media cambia.

Abstracto

1. La media no es necesariamente igual a un valor que se haya sumado. Esta propiedad entra dentro del aspecto abstracto que tiene este parámetro, pues puede ocurrir que la media sea un valor que no pertenezca al mismo conjunto numérico que los elementos de la distribución de la que proviene.
2. La media puede ser una fracción que no sea posible en la realidad. Es típico el ejemplo de haber estudiado el número de hijos por familia, y cuando calculamos el valor medio obtenemos un dato que es   imposible

que se dé. Por ejemplo:1.6 hijos.

1. Cuando calculamos la media, si aparece un valor cero, este se debe tener en cuenta. Estamos en la misma situación del apartado C. Siempre y cuando la media no sea cero, los valores que añadimos hacen que la media varíe.

Representativo

1. La media es un valor representativo de los valores que se están promediando. Esta característica es fundamental y es la que hace que la media tenga la importancia que tiene. Profundizaremos más adelante en ella.

Si nos centramos en qué propiedades resultan más sencillas y cuáles más difíciles, Straus y Bichler (1988) resaltaron que para los alumnos, las características A, C y D son más sencillas en su comprensión que la características B, F y G. Destacaron que la representatividad es un escollo que deben salvar los alumnos cuando tienen que estudiar la media aritmética.

Como hemos indicado anteriormente, con esta investigación se pretendía además, ver cómo evolucionaban las diferentes características de la media aritmética a lo largo de la etapa que se estaba estudiando. Es por ello que nos centraremos ahora en los trazos de desarrollo evolutivo, esto es, las diferentes respuestas dadas por los alumnos a los problemas planteados y en qué porcentaje dieron cada respuesta, atendiendo a la edad.

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