LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL

OBJETIVOS

Objetivo General

• Aprender acerca de la importancia que el conjunto de números reales tiene en la vida cotidiana y en la evolución de la sociedad humana, así como también entender su comportamiento y estructura.

Objetivos Específicos

• Conocer los subconjuntos de los números reales.

• Reconocer las relaciones entre subconjuntos de los números reales.

• Representar números reales en la recta real.

INTRODUCCIÓN

El sistema de los números reales ha evolucionado con el tiempo y está relacionado con el significado de la palabra número, y son parte de nuestra vida diaria. Se usa continuamente y de manera inconsciente, en simples cálculos, en las cuentas de la casa, el banco, el presupuesto, la hora, compras, ventas, etc.

Este fue el primer conjunto utilizado por el hombre, que al principio le fue de gran utilidad ya que con este conjunto podía contar y sumar sus cosas. Luego las operaciones entre números aparecieron como reflejo de las relaciones entre objetos concretos, así por ejemplo se estableció que una suma no depende del orden de los sumandos. A medida que la sociedad iba evolucionando, el hombre se vio ante la necesidad de perfeccionar los nombres y símbolos de los números y posteriormente la introducción de signos y designación literal de las incógnitas o variables.

Así bien la evolución humana también ha conllevado que sus necesidades se vuelvan más complejas lo que a su vez misma, conlleva el hecho de que la forma de resolver dichas necesidades evolucione. Todos los procesos van de la mano en la evolución humana es por eso que ahora estudiamos una pequeña fracción de nuestro universo, el conjunto de los números reales.

NÚMEROS REALES

Los números reales son los números que se pueden escribir mediante la anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones y todos aquellos números cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

SE CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES

Un numero racional es un número real que se puede expresar como el cociente a/b de dos números enteros a y b con b diferente de cero. Los números reales que no son racionales se llaman irracionales.

Los números reales pueden representarse siempre por expresiones decimales periódicas, es decir, en las que hay una combinación de dígitos que se repiten indefinidamente. Los números irracionales pueden representarse por expresiones decimales infinitas no periódicas.

LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL

En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud; a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real.

Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:

• El número cero es asociado como el origen de la recta.

• Se asocia a cada número positivo “p” un punto que está a una distancia de “p” unidades del origen en la dirección positiva.

• Se asocia a cada número negativo “- p” el punto que está a “p” unidades de distancia del origen en la dirección negativa.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real.

ORDEN

Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b.

En la recta a < b si y sólo si el punto

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