La Circunferencia Y El Circulo

La circunferencia y el círculo

OBJETIVOS

 Calcular el área del círculo y el perímetro de la circunferencia.

 Calcular el área y el perímetro de sectores y segmentos circulares.

 Calcular la medida de ángulos y arcos en la circunferencia.

 Resolver problemas de áreas y perímetros en los cuales están relacionadas varias figuras

geométricas.

Definición

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un mismo plano, que están a una distancia

dada, de un punto dado, situado en el mismo plano. El punto dado se llama centro de la circunferencia.

El círculo es el conjunto de todos los puntos interiores a una circunferencia. El radio es el segmento que

une el centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia. La figura siguiente muestra una

circunferencia de radio r y centro en el punto O.

O

r

Algunos elementos en la circunferencia

Algunos de los elementos geométricos que se relacionan con la circunferencia son

Cuerda:

Es un segmento cuyos puntos extremos están sobre la circunferencia. En la figura de abajo los segmentos

AB y CD son cuerdas.

Diámetro:

Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. En la figura AB es un diámetro.

Secante:

Es una recta que contiene a una cuerda. En la figura las rectas AB y CD son secantes.

Tangente:

Es una recta que se encuentra en el mismo plano que la circunferencia y que la interseca solamente en un

punto. El punto de intersección se llama punto de tangencia. Una recta tangente es perpendicular al

radio en el punto de tangencia.

En la figura la recta EF es tangente a la circunferencia en el punto P, por lo tanto el radio OP es

perpendicular a la recta tangente en P.

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 34

O

r

P

F

E

A B

C

D

Área y perímetro

Las expresiones para calcular el área del círculo y el perímetro de la circunferencia son

2

2

A r

P r









Ejemplo 1: Círculo inscrito en triángulo equilátero

Encuentre el área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero de lado 6 cm.

Solución

La figura muestra el círculo inscrito en el triángulo equilátero, donde l es el lado del

triángulo, H es la altura del triángulo y r es el radio de la circunferencia.

r

H

H r 

r

l/2

Por el teorema de Pitágoras se puede calcular la altura H ya que se conoce el lado del

triángulo l  6

 2

2 2

2 2

2 2

2

2

3

4 4

3 3 3

(6) 3 3

4 2 2

l

H l

l l

H l

l

H l

 

  

   

Ahora observe que el triángulo que tiene base r e hipotenusa H  r es semejante al

triángulo de base l/2 e hipotenusa l ya que ambos son rectángulos y tienen un ángulo

agudo común. Al aplicar proporcionalidad entre sus lados se tiene

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 35

2

l

H r l

r





Despejando r y sustituyendo los valores de l y H se obtiene

2

2

3

3

3 3

3

3

H r

r

H r r

H r

H

r

r





 





 

Entonces el área del círculo es

 2

A   r2   3  3

Ejemplo 2: Triángulo isósceles inscrito en círculo

Encuentre el área de un triángulo isósceles inscrito en un círculo de radio R si la altura del triángulo es

igual al doble de su base.

Solución

En la figura se muestra el triángulo inscrito, así como su altura y el radio del círculo

trazado a uno de los vértices del triángulo.

R

2b

2bR

R

b

Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es R, uno

de sus catetos es 2b  R y el otro cateto con longitud

2

b se tiene

   

2

2 2 2

2

b

R   b  R

Despejando la base b en términos del radio R se tiene

2

2 2 2

2 2

4 4

4

0 16 16

b

R b bR R

b b bR

   

  

Trasladando los términos al lado izquierdo y factorizando se tiene

17 2 16 0

(17 16 ) 0

b bR

b b R

 

 

Como b no puede ser igual a cero se tiene que

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 36

16

17

R

b  y   16 32

2 2

17 17

R R

h  b  

El área del triángulo es

1     1 16 32  256 2

2 2 17 17 289

R R

A  b h   R

Arcos, sectores y segmentos

Ángulo central:

Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. En la figura  es un ángulo central.

O 

Arco:

Si A y B son dos puntos en una circunferencia, el arco AB , está formado por los puntos A y B y por todos

los puntos de la circunferencia entre A y B. Como hay dos arcos que se pueden asociar a dos puntos sobre

una circunferencia, es importante aclarar a cuál de los arcos se está haciendo referencia. Por ejemplo, en

la siguiente figura para referirse al arco subtendido por el ángulo  , se puede utilizar un punto

intermedio entre los puntos A y B, y llamarlo arco ACB

O 

A

B

C

Longitud de arco:

Como el perímetro de una circunferencia es 2 r , es lógico pensar que la longitud del arco está relacionada

con el perímetro de la misma. De hecho si el ángulo central es  , su medida está en grados y el radio de

la circunferencia es r, la longitud del arco es

2 

360 180

r

l  r 

  

Sector circular:

Un sector circular es una región plana limitada por dos radios y un arco. En la figura ABO es un sector

circular.

O



A

r B



UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 37

Como el área de un círculo es  r2 , es razonable pensar que el área de un sector sea proporcional al

ángulo  y al área del círculo. La expresión para calcular el área del sector circular cuando el ángulo 

está expresado en grados es

( 2 )

360

A  r

 

El perímetro se obtiene sumando la longitud del arco con el doble del radio, es decir

2

180

r

P  r

 

Segmento circular:

Un segmento circular es la región limitada por una cuerda y por un arco del círculo. En la figura ACB es

un segmento circular

O



A

r B



C

El área del segmento circular se obtiene restando el área del triángulo al área del sector, es decir

A  A sector OACB  A triángulo OAB

El perímetro del segmento se obtiene sumando la longitud del arco con la longitud de la curda, es

decir

P  longitud ACB  longitud AB

Ejemplo 3: Calculando el área sombreada

La figura muestra una semicircunferencia con centro en el punto O, cuyo diámetro es 20 cm y un sector

circular con centro en el punto P. Encuentre el área sombreada.

P

O

Solución

Para calcular el área sombreada, se debe expresar el área sombreada como la suma y

resta de áreas de figuras geométricas conocidas (triángulos, círculos, cuadrados, etc.).

Para ello hay que observar con detenimiento la región sombreada y diseñar una

estrategia. Muchas veces el mismo problema se puede resolver combinando las áreas

de formas diferentes.

En éste problema el área sombreada se puede calcular como el área del semicírculo

de radio r  10 cm, menos el área del segmento circular de radio R.

El área del semicírculo es

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 38

r

2 2

1

1 1

(10) 50

2 2

A   r    

Para calcular el área del segmento primero hay que calcular el radio R usando el

teorema de Pitágoras

20

R R

2 2 2

2

20

2 400

200 10 2

R R

R

R

 



 

El área del segmento 2 A es el área del sector menos el área del triángulo, es decir

    

2

2

2

1

( ) ( )( )

360 2

90 1

10 2 10 2 10 2

360 2

100(2) 100(2)

4 2

50 100

A  R R R









 

 

 

 

Finalmente el área sombreada es

1 2

2

50 (50 100)

100 cm

A A A

 

 

  



Ejemplo 4: Calculando el área sombreada en círculos

La figura muestra una circunferencia de 8 centímetros de radio que tiene

inscritas tres circunferencias. Las dos circunferencias pequeñas tienen radio de

3 centímetros y son tangentes interiormente a la circunferencia mayor y al

diámetro mostrado con línea discontinua. La otra circunferencia tiene radio

desconocido y es tangente a las dos circunferencias pequeñas y a la circunferencia

mayor. Encuentre el área sombreada.

Solución

En la siguiente figura se han trazado algunos segmentos que muestran las relaciones

entre los radios de las circunferencias.

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 39

r

r

3

3 3 3

8r

5

Note que se forman dos triángulos rectángulos, en el triángulo pequeño, el cateto menor

mide 3 cm y la hipotenusa mide 5 cm pues es la diferencia entre el radio mayor 8 y el

radio menor 3. Al calcular el cateto mayor de éste triángulo se obtiene

5

3

h

32 2 52

25 9 4

h

h

 

  

Al utilizar el teorema de Pitágoras en el otro triángulo rectángulo se tiene

3

(8r)4 h 3r

 (8 r) 4 2 (3)2 (3 r)2     

Resolviendo la ecuación anterior para r

2 2

2 2

(8 ) 8(8 ) 16 9 9 6

64 16 64 8 16 6

144 24 6

30 144

144 24

30 5

r r r r

r r r r r

r r

r

r

       

      

 



 

El área sombreada en la figura es

 2

2 2

2

24 576

(8) 2 (3) 64 18

5 25

574

cm

25

s A      



     



UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 40

O 

A

B

C

A C

B



C

B



A

A

C

B



Medida de arcos y ángulos en la circunferencia

Ya se ha definido un arco de la circunferencia y se ha calculado su longitud. Un arco de circunferencia

también puede ser medido en grados, en este sentido, la medida de un arco se define como la medida de

su ángulo central. En la figura la medida del arco ACB es 

ACB  

Los siguientes teoremas permiten calcular una serie de ángulos y arcos que son formados cuando dos

rectas secantes o tangentes se intersecan para formar ángulos en el interior o en el exterior de una

circunferencia.

Angulo inscrito en la circunferencia

Un ángulo se llama inscrito si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas de

la circunferencia. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que intercepta.

1

2

  BC

Un caso especial del ángulo inscrito es el que subtiende un arco de 180º, la medida de éste ángulo esa

es 90º, como se muestra en la siguiente figura

1 1

(180º ) 90º

2 2

  BAC  

De donde se puede concluir que la medida de un ángulo inscrito en una semicircunferencia es 90º.

Angulo formado por una secante y una tangente

La medida de un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados están formados por una recta

secante y por una recta tangente a la circunferencia, es igual a la mitad de la medida del arco interceptado.

1

2

  ACB

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 41

A

C

B



D

A

C

B



D

A

B



C

A

B



C

Angulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de la

circunferencia

La medida de un ángulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de una circunferencia,

es igual a la mitad de la suma de las medidas de los arcos interceptados.

  1

2

  AB  CD

Angulo formado por dos secantes que se intersecan fuera de la circunferencia

La medida de un ángulo formado por dos secantes que se intersecan fuera de una circunferencia, es igual

a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

  1

2

  CD  AB

Ángulo formado por una tangente y una secante que se intersecan fuera de la

circunferencia.

La medida de un ángulo formado por una tangente y una secante que se intersecan en el exterior de una

circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

  1

2

  AB  AC

Ángulo formado por dos tangentes que se intersecan fuera de la circunferencia.

La medida de un ángulo formado por dos tangentes que se intersecan en el exterior de una circunferencia,

es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

  1

2

  ABC  AC

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 42

Ejemplo 5: Calculando ángulos en la circunferencia

En la figura mostrada el segmento AP es tangente a la circunferencia en A, los segmentos AD y BE son

diámetros, la medida del arco AE  115º , los segmentos AD  AP . Encuentre la medida de todos los

ángulos numerados.

A

C

P

B

D

E

1

2

4 3

5

6

7

8

9

10

Solución

Los ángulos no necesariamente se calcularán en el orden en que están numerados. En

ocasiones es necesario calcular la medida de ciertos arcos para luego calcular los

ángulos.

Él 8 es un ángulo central ya que los segmentos AD y BE son diámetros, entonces

8  AE  115º

Él 3 es igual al 8 pues son ángulos opuestos por el vértice, entonces

3  8  115º

Él 2 es suplementario del ángulo 8 , entonces

2  180º 8  180º 115º  65º

Como el segmento BE es un diámetro, entonces

BAE  180º

Calculando el arco AB

180º

180º 180º 115º 65º

AB AE

AB AE

 

    

Él 4 es un ángulo inscrito en la circunferencia, entonces

   

1 65º

4 32.5º

2 2

AB

Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º

5  180º 4  8  180º 32.5º 115º  32.5º

Él 1 está formado por una tangente y una secante a la circunferencia, entonces

    1 1 50º

1 115º 65º 25º

2 2 2

  AE  AB    

Como los segmentos AD  AP , entonces el triángulo DAP es isósceles y los ángulos

10 y APD son iguales. Por otro lado el segmento AD es perpendicular al segmento

AP, entonces el triángulo DAP es rectángulo y también es isósceles, entonces

10  45º

Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º

9  180º 10  3  180º 45º 115º  20º

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 43

El triángulo DAP es rectángulo pues está inscrito en una semicircunferencia,

entonces los ángulos 6 y 10 son complementarios, entonces

6  90º 10  90º 45º  45º

Solo falta calcular 7 , para hacerlo se usará la suma de los ángulos internos de un

triángulo, pero antes hay que calcular el EAC

EAC  5  6  32.5º 45º  77.5º

Finalmente se puede calcular el 7

7  180º EAC  4  180  77.5º 32.5º  70º

Ejercicios de la sección 2.4

1. Encuentre el área de un círculo si su perímetro

es 44 cm.

2. Encontrar el perímetro de un círculo si su área

es 24 cm2.

3. Encuentre el área comprendida entre dos

círculos que tienen el mismo centro si los

diámetros son 12 cm y 16 cm.

4. Encuentre el área de un círculo inscrito en un

cuadrado de 6 cm de lado.

5. Se inscribe un semicírculo en un rectángulo de

base 20 cm y altura 10 cm como se muestra en

la figura. Calcule el área sombreada.

6. Se inscribe un semicírculo en un rectángulo de

base 16 cm. Encuentre el área sombreada.

7. En la figura los cuatro círculos son tangentes

entre sí y tienen el mismo radio de 5 cm.

Encuentre el área sombreada.

8. Encuentre el área de un cuadrado inscrito en

un círculo de radio 6 cm.

9. Encuentre el área de un cuadrado inscrito en

un semicírculo de radio 6 cm.

10. Un rectángulo de 6 cm por 8 cm está inscrito

en un círculo. Encontrar el área que está

dentro del círculo pero fuera del rectángulo.

11. El triángulo de la figura es equilátero de lado

10 cm. Encuentre el área sombreada.

5

5

5

5

5

5

12. Encuentre el área sombreada

5

5

5

5

5 5

13. La figura muestra un triángulo inscrito en una

semicircunferencia. Encuentre el área

sombreada.

16 12

14. Los radios de dos círculos concéntricos difieren

en 2 . Encontrar el radio de cada círculo

sabiendo que el área del anillo formado es

2 1  3 2 .

15. Se inscribe un cuadrado en un cuarto de

círculo de radio 5 cm, como se muestra en la

figura, encuentre el área sombreada



UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 44

16. Dos semicírculos están inscritos en un

cuadrado de lado 6 cm, como se muestra en la

figura. Encontrar el área sombreada.

17. En un círculo de radio 6 cm, se recorta un

anillo de área igual a la mitad del área del

círculo, encontrar el ancho del anillo.

18. Se inscribe un triángulo equilátero en un

círculo de radio 8 cm. Encontrar el área del

segmento limitado por un lado del triángulo y

por la circunferencia.

19. En un círculo de radio 6 cm, calcule el área del

segmento si la longitud de la cuerda es 6 cm.

20. Encontrar el perímetro de un segmento si el

radio del círculo es 12 cm y el ángulo central

mide 120º.

21. La figura muestra dos círculos iguales de radio

8 cm que se intersecan de manera que su

cuerda común mide 8 cm. Encontrar el área

sombreada

22. Dos rectas tangentes a una circunferencia

interceptan un arco de 120º. Si las dos rectas

se interceptan entre ellas, encontrar el

perímetro de la región limitada por las dos

tangentes y el arco.

23. En un círculo de radio 10 cm se inscribe un

trapecio isósceles cuyas bases miden 12 y 16

cm. Si el centro del círculo queda en el interior

del trapecio, encontrar el área dentro del

círculo pero fuera del trapecio.

24. En la figura se muestra un trapecio isósceles

cuyas bases miden 18 cm y 8 cm. Todos los

lados del trapecio son tangentes a la

circunferencia. Encontrar el área del trapecio.

25. Un rombo tiene diagonales de 18 y 24 cm.

Encontrar el área del círculo inscrito en el

rombo.

26. Un trapecio isósceles se inscribe en un

semicírculo de radio 1 cm, de tal forma que uno

de los lados paralelos coincide con el diámetro

del semicírculo. Si la diagonal del trapecio

mide 3 , encuentre el área del trapecio.

27. En la figura se muestra un semicírculo inscrito

en un triángulo rectángulo cuyos catetos

miden 8 cm y 6 cm. Calcule el área sombreada.

28. Se inscribe un círculo en un triángulo

rectángulo cuyos catetos miden 4 cm y 2 cm.

Encuentre el área sombreada.

29. Una ventana de iglesia tiene la forma de un

rectángulo con un semicírculo sobrepuesto,

como se muestra en la figura. Determine las

dimensiones de la misma si su perímetro es

10  2 y su área es 8  

30. Se quiere construir un campo de futbol

rectangular con un área de 6,000 metros

cuadrados. El diseño incluye dos áreas

semicirculares en cada extremo para formar

una pista de atletismo de longitud total de 400

metros, como se muestra en la figura.

Determine las dimensiones de la pista.

31. En la figura se muestran dos semicírculos

inscritos en un semicírculo de radio 4 cm. Si

la longitud del segmento AB es 3 cm.

Encuentre el área sombreada.

A

B

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 45

32. En la figura se muestra un triángulo

equilátero de 2 cm de lado y una

semicircunferencia que tiene su diámetro

sobre uno de los lados del triángulo.

Encuentre el área sombreada.

33. Tres círculos iguales de 12 cm de radio son

tangentes entre sí. Encontrar el área

sombreada.

34. Encuentre el área sombreada en la siguiente

figura.

4 4

4

4 4

4

35. La figura muestra un triángulo rectángulo

cuyos catetos miden a y b, inscrito en una

semicircunferencia. Adicionalmente la figura

tiene dos semicírculos con centro en el punto

medio de los catetos. Encuentre el área

sombreada.

36. Un jardín circular tiene 12 metros de diámetro

y es atravesado por un camino de concreto 3

metros de ancho, de forma que uno de los lados

del camino pasa por el centro del jardín.

Encontrar el área que está sembrada.

37. Los lados de un triángulo isósceles miden 5, 5

y 6 cm. Encontrar la razón de las áreas de los

círculos inscrito y circunscrito.

38. En un círculo de radio R se inscribe y se

circunscribe un triángulo equilátero.

Encontrar la razón de las áreas del triángulo

inscrito al triángulo circunscrito.

39. Un semicírculo de radio R contiene en su

interior otro semicírculo de radio desconocido.

Si la longitud de la cuerda AB es 24 cm.

Encontrar el área sombreada.

A B

40. La figura muestra un semicírculo de radio 6

cm que tiene en su interior dos círculos

inscritos. Si los dos círculos inscritos son

tangentes entre sí y tangentes al semicícrulo,

como se muestra en la figura. Encontrar el

área sombreada.

6

41. Encuentre la altura h si los círculos tienen

radios de 10 cm y 4 cm.

h

42. En la figura el segmento PC es un diámetro y

el segmento AC es tangente en P. Encuentre

la medida de los ángulos numerados.

O

P

C

A

B

C

1

2

40º

3

43. En la figura CD  110º . Encuentre la medida

de los ángulos numerados.

E

D

A

B

C

1

2

3

25º

4

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 46

44. En la figura BC  120º , EC  85º

Encuentre la medida de los ángulos

numerados.

E

D B

C

1

2

3

40º

4

5

6

45. En la figura el segmento CE es un diámetro,

CB  25º , DE  80º , AE  60º Encuentre

la medida de los ángulos numerados.

D

B

C

1

2

5

4

3

A

E

F

O

6

7

46. En la figura el segmento BE es un diámetro, la

recta AG es tangente en A, AB  80º ,

BC  20º , DE  50º . Calcule la medida de

los ángulos numerados.

O

C

E

D

B

A

F 1

2

3

4

6 5

10

8 7

9 G

47. En la figura la recta ET es tangente en A,

ET FD , el arco AD  140º , BC  50º .

Encuentre la medida de los ángulos

numerados.

T

C

F

E

D

B

A

1

2

3

5 4

6

8 7 10

9

11

12

48. En la figura el segmento CE es un diámetro,

CD  80º , BC  50º , 3  20º .  6  30º .

El segmento AP es tangente en A. Encuentre

la medida de los ángulos numerados.

O C

E

D

B

A

1

2

3

4

5

6

10

8

7

9

P

11

12

...