La Circunferencia Y El Circulo

La circunferencia y el círculo

OBJETIVOS

 Calcular el área del círculo y el perímetro de la circunferencia.

 Calcular el área y el perímetro de sectores y segmentos circulares.

 Calcular la medida de ángulos y arcos en la circunferencia.

 Resolver problemas de áreas y perímetros en los cuales están relacionadas varias figuras

geométricas.

Definición

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un mismo plano, que están a una distancia

dada, de un punto dado, situado en el mismo plano. El punto dado se llama centro de la circunferencia.

El círculo es el conjunto de todos los puntos interiores a una circunferencia. El radio es el segmento que

une el centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia. La figura siguiente muestra una

circunferencia de radio r y centro en el punto O.

O

r

Algunos elementos en la circunferencia

Algunos de los elementos geométricos que se relacionan con la circunferencia son

Cuerda:

Es un segmento cuyos puntos extremos están sobre la circunferencia. En la figura de abajo los segmentos

AB y CD son cuerdas.

Diámetro:

Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. En la figura AB es un diámetro.

Secante:

Es una recta que contiene a una cuerda. En la figura las rectas AB y CD son secantes.

Tangente:

Es una recta que se encuentra en el mismo plano que la circunferencia y que la interseca solamente en un

punto. El punto de intersección se llama punto de tangencia. Una recta tangente es perpendicular al

radio en el punto de tangencia.

En la figura la recta EF es tangente a la circunferencia en el punto P, por lo tanto el radio OP es

perpendicular a la recta tangente en P.

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 34

O

r

P

F

E

A B

C

D

Área y perímetro

Las expresiones para calcular el área del círculo y el perímetro de la circunferencia son

2

2

A r

P r









Ejemplo 1: Círculo inscrito en triángulo equilátero

Encuentre el área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero de lado 6 cm.

Solución

La figura muestra el círculo inscrito en el triángulo equilátero, donde l es el lado del

triángulo, H es la altura del triángulo y r es el radio de la circunferencia.

r

H

H r 

r

l/2

Por el teorema de Pitágoras se puede calcular la altura H ya que se conoce el lado del

triángulo l  6

 2

2 2

2 2

2 2

2

2

3

4 4

3 3 3

(6) 3 3

4 2 2

l

H l

l l

H l

l

H l

 

  

   

Ahora observe que el triángulo que tiene base r e hipotenusa H  r es semejante al

triángulo de base l/2 e hipotenusa l ya que ambos son rectángulos y tienen un ángulo

agudo común. Al aplicar proporcionalidad entre sus lados se tiene

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 35

2

l

H r l

r





Despejando r y sustituyendo los valores de l y H se obtiene

2

2

3

3

3 3

3

3

H r

r

H r r

H r

H

r

r





 





 

Entonces el área del círculo es

 2

A   r2   3  3

Ejemplo 2: Triángulo isósceles inscrito en círculo

Encuentre el área de un triángulo isósceles inscrito en un círculo de radio R si la altura del triángulo es

igual al doble de su base.

Solución

En la figura se muestra el triángulo inscrito, así como su altura y el radio del círculo

trazado a uno de los vértices del triángulo.

R

2b

2bR

R

b

Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es R, uno

de sus catetos es 2b  R y el otro cateto con longitud

2

b se tiene

   

2

2 2 2

2

b

R   b  R

Despejando la base b en términos del radio R se tiene

2

2 2 2

2 2

4 4

4

0 16 16

b

R b bR R

b b bR

   

  

Trasladando los términos al lado izquierdo y factorizando se tiene

17 2 16 0

(17 16 ) 0

b bR

b b R

 

 

Como b no puede ser igual a cero se tiene que

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 36

16

17

R

b  y   16 32

2 2

17 17

R R

h  b  

El área del triángulo es

1     1 16 32  256 2

2 2 17 17 289

R R

A  b h   R

Arcos, sectores y segmentos

Ángulo central:

Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. En la figura  es un ángulo central.

O 

Arco:

Si A y B son dos puntos en una circunferencia, el arco AB , está formado por los puntos A y B y por todos

los puntos de la circunferencia entre A y B. Como hay dos arcos que se pueden asociar a dos puntos sobre

una circunferencia, es importante aclarar a cuál de los arcos se está haciendo referencia. Por ejemplo, en

la siguiente figura para referirse al arco subtendido por el ángulo  , se puede utilizar un punto

intermedio entre los puntos A y B, y llamarlo arco ACB

O 

A

B

C

Longitud de arco:

Como el perímetro de una circunferencia es 2 r , es lógico pensar que la longitud del arco está relacionada

con el perímetro de la misma. De hecho si el ángulo central es  , su medida está en grados y el radio de

la circunferencia es r, la longitud del arco es

2 

360 180

r

l  r 

  

Sector circular:

Un sector circular es una región plana limitada por dos radios y un arco. En la figura ABO es un sector

circular.

O



A

r B



UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 37

Como el área de un círculo es  r2 , es razonable pensar que el área de un sector sea proporcional al

ángulo  y al área del círculo. La expresión para calcular el área del sector circular cuando el ángulo 

está expresado en grados es

( 2 )

360

A  r

 

El perímetro se obtiene sumando la longitud del arco con el doble del radio, es decir

2

180

r

P  r

 

Segmento circular:

Un segmento circular es la región limitada por una cuerda y por un arco del círculo. En la figura ACB es

un segmento circular

O



A

r B



C

El área del segmento circular se obtiene restando el área del triángulo al área del sector, es decir

A  A sector OACB  A triángulo OAB

El perímetro del segmento se obtiene sumando la longitud del arco con la longitud de la curda, es

decir

P  longitud ACB  longitud AB

Ejemplo 3: Calculando el área sombreada

La figura muestra una semicircunferencia con centro en el punto O, cuyo diámetro es 20 cm y un sector

circular con centro en el punto P. Encuentre el área sombreada.

P

O

Solución

Para calcular el área sombreada, se debe expresar el área sombreada como la suma y

resta de áreas de figuras geométricas conocidas (triángulos, círculos, cuadrados, etc.).

Para ello hay que observar con detenimiento la región sombreada y diseñar una

estrategia. Muchas veces el mismo problema se puede resolver combinando las áreas

de formas diferentes.

En éste problema el área sombreada se puede calcular como el área del semicírculo

de radio r  10 cm, menos el área del segmento circular de radio R.

El área del semicírculo es

UNIDAD 2 Geometría 2.4 La circunferencia y el círculo 38

r

2 2

1

1 1

(10) 50

2 2

A   r    

Para calcular el área del segmento primero hay que calcular el radio R usando el

teorema de Pitágoras

20

R R

2 2 2

2

20

2 400

200 10 2

R R

R

R

 



 

El área del segmento 2 A es el área del sector menos el área del triángulo, es decir

    

2

2

2

1

( ) ( )( )

360 2

90 1

10 2 10 2 10 2

360 2

100(2) 100(2)

4 2

50 100

A  R R R









 

 

 

 

...