CIRCUNFERENCIAS Y CIRCULOS\ FIGURAS SEMEJANTES

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD PEDAGIGICA ESPERIMETAL LIBERTADOR

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFECIONAL DEL MAJISTERIO

NUCLEO BOLIBAR

GEOMETRIA:

 CIRCUNFERENCIAS Y CIRCULOS\ FIGURAS SEMEJANTES

Participantes:

Wilfred Bermúdez

C.I. 23.729.386

Manuel González

C.I. 18.622.938

Facilitador:

Prof. Franco Jaramillo

Ciudad Bolívar, Enero del 2016

INTRODUCCION

     Hay quienes piensan  que la geometría no sirve para nada, principalmente los que quieren estudiar carreras que no usan matemáticas. Pero la geometría la usamos todo los días. Vivimos en el planeta tierra y Geometría viene de Geo = tierra y Metría = Medición, medición de la tierra, la tierra en que vivimos.  Como seres humanos siempre queremos saber acerca del lugar donde vivimos en este caso la tierra, al menos un par de cosas físicas para comprenderlo mejor.

     Este trabajo se centra principalmente en la importancia de la geometría relacionada con la famosa Circunferencia. Quizás para muchos esta es solo una "línea circular con un centro O"... Pero en realidad es mucho más que eso. También aprenderemos  a determinar cuándo dos figuras son semejantes y las relación que puede existir entre estas figuras.

CAPITULO I

CIRCUNFERENCIAS Y CIRCULOS

     Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

     Círculo es la  superficie plana limitada por una circunferencia.

     El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.

     Diámetro es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R

     La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Pi = Π = 3,14159....

Otros objetos geométricos ligados circunferencia y círculo:

     Circunferencia

Arco, parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

Cuerda, segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Semicircunferencia: cada una de las partes que un diámetro divide a la circunferencia.

    Circulo

Sector circular, región del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente.

Segmento circular, región del círculo comprendido entre un arco y su cuerda.

Semicírculo, región limitada por un diámetro y su arco. Mitad del círculo.

Posiciones Relativas de un Punto Respecto a una Circunferencia

     La posición de un punto con relación a una circunferencia puede ser triple:

1) Que el punto esté fuera de la circunferencia.

2) Que esté sobre la misma línea de la circunferencia.

3) Que el punto esté dentro de la circunferencia.

Ejemplo.

[pic 1]

Ecuación de una Circunferencia que pasa por dos Puntos

     La ecuación de la circunferencia de centro C (h; k) y radio "r" es:

(x - h)² + (y - k)² = r²

     Los puntos (2;3) y (-1;1) pertenecen a la circunferencia. Entonces, en la ecuación de la circunferencia, reemplazamos "x" e "y" por las coordenadas de cada punto.

1. (2 - h)² + (3 - k)² = r²
2. (-1 - h)² + (1 - k)² = r²

     Igualamos “a” y “b”, porque ambas equivalen a r²

(2 - h)² + (3 - k)² = (-1 - h)² + (1 - k)²

4 - 4h + h² + 9 - 6k + k² = 1 + 2h + h² + 1 - 2k + k²

13 - 4h - 6k = 2 + 2h - 2k

-4h - 6k - 2h + 2k = 2 – 13

-6h - 4k = -11……. (c)

     Por otra parte, el centro (h; k) está sobre la recta x - 3y - 11 = 0. Entonces el centro verifica esta ecuación,

h - 3k - 11 = 0. . . . . . . . . (d)

    Con c y d formamos un sistema de ecuaciones que nos permite hallar el centro.

-6h - 4k = -11. . . . . . . . . . (c)

 h - 3k - 11 = 0. . . . . . . . .(d)

 Método de sustitución de d, despejamos h ==> h = 3k + 11Reemplazamos "h" en c

 -6·(3k + 11) - 4k = -11

-18k - 66 - 4k = -11

-22k = -11 + 66

k = 55/(-22)

k = -5/2

Luego, h = 3k + 11 = 3·(-5/2) + 11 = 7/2

El centro es C(7/2, -5/2)Calculamos r², reemplazando "h" y "k" en a

 (2 - 7/2)² + (3 - (-5/2))² = r²

9/4 + 121/4 = r²

65/2 = r²

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

(x - 7/2)² + (y - (-5/2))² = 65/2

(x -7/2)² + (y + 5/2)² = 65/2

Desarrollamos los binomios para obtener la ecuación general.

x² - 7x + 49/4 + y² + 5y + 25/4 - 65/2 = 0

Ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos

     Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por los tres.

     Cuando se dispone de tres puntos A, B y C que no estén alineados, la mediatriz de AB y la Mediatriz de BC se cortarán en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por A, B y C puesto que los tres equidistan de él. En otras palabras, el problema consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo. En el caso de que los tres puntos dados estén alineados el problema carece de solución.

A Través de Mediatrices

     Se seleccionan dos de los puntos dados, se obtiene la ecuación de la recta que pasa por ellos. Se calcula el punto medio entre los puntos. Se encuentra mediatriz, que es la recta perpendicular a la recta obtenida que pase por el punto medio.

     Se toman otros dos puntos y se obtiene de forma similar otra mediatriz.

      Se resuelve el sistema de ecuaciones con las dos mediatrices y la solución, representa las coordenadas del centro.

      El radio se encuentra tomando la distancia del centro a cualquiera de los puntos de la circunferencia.

     Finalmente se expresa como:+=[pic 2][pic 3][pic 4]

Posición Relativa de una Circunferencia y una Recta

Recta secante

La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

[pic 5]

Recta tangente

La recta corta a la circunferencia en un punto.

[pic 6]

Recta Exterior

No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

[pic 7]

Posición Relativa de Dos Circunferencia

Ningún Punto en Común

     Exteriores La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.

[pic 8]

     Interiores La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

[pic 9]

     Concéntricas Los centros coinciden.

[pic 10]

Un Punto en Común

     Tangentes exteriores La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios 

[pic 11]

     Tangentes interiores  La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

[pic 12]

Relación Entre Arcos y Cuerdas de una Circunferencia

     En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, a arcos congruentes corresponden cuerdas congruentes, y si dos arcos son desiguales (menores a una semicircunferencia) a mayor arco corresponde mayor cuerda, y viceversa.

[pic 13]

Si la cuerda OP = la cuerda MN entonces el arco OP = al arco MN

Si el arco OP = al arco MN entonces la cuerda OP = la cuerda MN

[pic 14]

Si la cuerda AB = la cuerda CD entonces el arco AB = al arco CD

Si el arco AB = al arco CD entonces la cuerda AB = la cuerda CD

[pic 15]

Si la cuerda HI > la cuerda JK entonces el arco HI > al arco JK

Si el arco HI > al arco JK entonces la cuerda HI > la cuerda JK

En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes equidistan del centro y viceversa.

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