La Función Trigonométrica

INTRODUCCIÓN

        La trigonometría, enfocada en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos en topografía, navegación y astronomía. Etimológicamente, trigón significa triángulo, y metrón, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como la "medida de los triángulos".  En este sentido, el siguiente trabajo abordará un resumen teórico sobre el triángulo rectángulo, sus elementos, sus tipos, las funciones de un ángulo agudo, ángulo de elevación, ángulo de depresión, entre otros aspectos relacionados.

1.- Triángulo rectángulo:

        En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios, el cual enuncia: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.[pic 1]

Ejemplo:

Elementos de un triángulo rectángulo:

Catetos: lados del triángulo que forman el ángulo recto.

Hipotenusa: lado mayor del triángulo opuesto al ángulo recto.

Ángulo recto: ángulo de 90º que forman los dos catetos.

Ángulos agudos: los otros dos ángulos del triángulo  menores de 90º. La suma de ambos es de 90º.

Existen dos tipos de triángulo rectángulo:

• Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide [pic 2]  veces la longitud del cateto.[pic 3]

• Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor [pic 4]  veces la longitud del cateto menor.[pic 5]

2.- Funciones trigonométricas de un Ángulo agudo.

        Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su complemento.

        Para establecer las razones o funciones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, se indicará la siguiente figura:[pic 6]

        Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto. Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos. Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Ejemplos:[pic 7]

[pic 8]

 Si se considera el ángulo                            Si se considera el ángulo β[pic 9]

        Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas:

Las fundamentales son:

Seno: es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

[pic 10]

Coseno: es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa

[pic 11]

Tangente: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.

[pic 12]

        Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.

Así mismo, a cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así porque cada una es la inversa de otra fundamental. Estas  razones recíprocas son:

Cosecante: es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca del seno de α se puede expresar como

[pic 13]

Secante: es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca del coseno de α se puede expresar como:

[pic 14]

Cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como es la recíproca de la tangente de α se puede expresar como:

[pic 15]

3.-Ángulos de elevación:

        El término ángulo de elevación denota al ángulo desde la horizontal hacia arriba a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría sobre la horizontal.[pic 16]

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