La integral definida

INTEGRAL DEFINIDA

Hemos visto entonces, "que el concepto de integral y en general del cálculo integral tuvo su origen histórico en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de cuyos ejemplos más característicos es el cálculo del área de una figura curvilínea"

Consideremos una curva situada sobre el eje x que representa la gráfica de la función con ecuación y = f(x). Se desea encontrar el área de la superficie s limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje x y las rectas paralelas al eje y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a,b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:

Denotamos con la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con y así sucesivamente hasta la última . En cada parte elegimos puntos , de tal forma que nos da el área del primer rectángulo, ( , es la base y la altura), da el área del segundo rectángulo y por lo tanto da el área del enésimo rectángulo. Luego se tiene que:

es la suma de las áreas de los rectángulos de la figura anterior. Obsérvese que cuanto más fina sea la subdivisión de segmento , más próxima estará al área . Si se considera una sucesión de tales valores por división del intervalo en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma tenderá a . Al decir subdivisiones cada vez más pequeñas, estamos suponiendo no solo, que crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor de los , en la enésima división tiende a cero.

Luego:

Por lo que el cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (A).

El cálculo del límite (A) también se presenta en otros problemas; por ejemplo, cuando se desea determinar la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta, con velocidad variable , en el intervalo de tiempo entre .

Supongamos que la función es continua, o sea, que en intervalos pequeños de tiempo la velocidad solo varía ligeramente. Se divide el intervalo en partes de longitudes . Para calcular un valor aproximado de la distancia recorrida en cada intervalo , (con ) vamos a suponer que la velocidad en este intervalo de tiempo es constante e igual a su verdadero valor en algún punto intermedio . Luego, la distancia total recorrida estará expresada aproximadamente por la siguiente suma:

Siendo el verdadero valor de la distancia recorrida en el tiempo , el límite de tales sumas para subdivisiones cada vez más finas, o sea, que será el límite (A):

Es necesario determinar ahora la conexión entre el cálculo diferencial y el integral, pero antes calculemos el área de la región limitada

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