Lentes Delgadas Y Aplicaciones (Fisica)

Lentes delgadas y aplicaciones

La lente óptica es un cuerpo de sustancia transparente homogénia limitado por dos superficies, por lo menos, una de las cuales, tiene radio de curvatura diferente a cero. Las lentes que se utilizan para la luz visible se hacen de vidrio. En mayoría de los casos las superficies de la lente son esféricas. La luz que incide sobre la lente se refracta sucesivamente en ambas superficies esféricas. La fig.1 muestra una lente formada por dos superficies esféricas, separadas entre sí por una distancia l y cuyos respectivos radios de curvatura son r1 y r2. El centro de curvatura de la primera superficie se encuentra en el punto C1 y de la segunda

en el punto C2.

Si la distancia entre las dos superficies l es pequeña con respecto a los radios de curvaturar1 y r2 la lente se llama delgada.

En este caso se puede considerar que los

puntos O1 y O2 coinciden con el punto O.

El punto O se denomina centro óptico de la

lente. Cualquiera recta que pasa por el centro Fig.1.

óptico de la lente se llama eje óptico de la lente. La recta que pasa por los centros de curvatura C1 y C2 de la lente se llama eje óptico principal (fig.2b). El plano HH que pasa por el centro óptico O y es perpendicular al eje óptico principal se denomina plano principal de la lente (fig.2a).

a) b) c)

Fig.2.

Para la construcción de la imagen formada por una lente delgada no es necesario saber el paso de los rayos luminosos dentro de la lente. Sin embargo, es importante conocer la posición del centro óptico y de sus focos principales. Así pues, la lente delgada puede ser representada por su plano principal y el eje óptico principal con los focos principales. El rayo que incide sobre la lente y el rayo que emerge de ella pasa por el mismo punto del plano principal (fig.2a). La presentación simbólica de la lente convergente y divergente esta dada en las figuras 2b) y 2c), respectivamente.

El rayo que pasa por el centro óptico no se refracta, es decir, no cambia la dirección de su propagación.

Tipos

Según su forma las lentes delgadas pueden ser convergentes y divergentes.

Convergentes: son más gruesas en el centro que en los extremos. Se representan esquemáticamente con una línea con dos puntas de flecha en los extremos.

Según el valor de los radios de las caras pueden ser: biconvexas (1), plano convexas (2) y menisco convergente (3).

Divergentes: Son más delgadas en la parte central que en los extremos. Se representan esquemáticamente por una línea recta acabada en dos puntas de flecha invertidas.

Según el valor de los radios de las caras (que son dioptrios) pueden ser: bicóncavas (4), plano cóncavas (5) y menisco divergente (6).

En esta foto vemos dos lentes de las que existen en los laboratorios de óptica.

Clasificación de las Lentes Convergentes y Divergentes

Las lentes convergentes tienen el espesor de su parte media mayor que el de su parte marginal.

I. Biconvexa o convergente.

II. Plano convexa.

III. Menisco convexa o convergente.

IV. Bicóncava.

V. Plano cóncava.

VI. Menisco cóncava o divergente.

Ecuación de las lentes delgadas

La superficie de las lentes es esférica. La razón es la facilidad con la que se pule una superficie esférica, con lo que se pueden obtener superficies de gran calidad.

Consideremos una lente delgada biconvexa. Las superficies que la constituyen tienen radios de curvatura r1 y r2respectivamente. Si el índice de refracción de la lente es n (> 1) y que el medio que la rodea es aire, con n = 1. Suponer que la lente es delgada (espesor »0) nos permite considerar las distancias desde el centro óptico de la lente O en vez de desde el vértice V.

Desde el objeto P, que se halla a una distancia s del centro óptico, O, parten rayos luminosos que llegan a la superficie de radio r1. Sufren una primera refracción que hace que parezcan provenir del punto P’, situado a una distancia S’ de O. La imagen sería virtual y se formaría en P’.

Aplicando la ecuación del dioptrio esférico tenemos 1/So + n/Si´ = (n - 1)/r1. Sin embargo la imagen no se forma en dicho punto porque los rayos sufren una segunda refracción en la superficie de radio r2. para converger finalmente en I, donde se forma la imagen a una distancia si de O. Suponemos que en esta segunda refracción los rayos provienen de P’y que el medio incidente es n, mientras que el medio al que se transmiten los rayos es el aire.

Volviendo a aplicar la ecuación del dioptrio esférico se tiene que n/So´ + 1/Si = (1 - n)/r2. Según el convenio de signos usado en la refracción las distancias objeto (So y S o’) son positivas en el lado de incidencia, mientras que las distancias imagen son negativas

So’ = -Si’ por lo que la ecuación para la segunda superficie puede escribirse así:

n/(-Si´) + 1/Si = (1 - n)/r2

Sumando las dos ecuaciones tenemos 1/So + n/Si = (n - 1).(1/r1 - 1/r2). Esto se conoce como la ecuación del fabricante de lentes o fórmula de las lentes delgadas.

Podemos expresar esta ecuación en función de la distancia focal de la lente. Como ya sabemos, una lente delgada presenta dos distancias focales: objeto e imagen. La primera se obtiene haciendo si = ∞ y entonces So = fo. La segunda distancia focal (imagen) se halla haciendo so = ∞ y entonces si = fi. Al sustituir en cualquiera de los dos casos la expresión obtenida es la misma. Esto quiere decir que en las lentes, la distancia focal objeto e imagen valen lo mismo. Es decir, que podemos escribir:

f = fo= fi y 1/f = (n - 1).(1/r1 - 1/r2)

que es la ecuación del fabricante de lentes en función de la distancia focal. Comparando las dos expresiones del fabricante de lentes se obtiene:

1/So + n/Si = 1/f

que es la fórmula gaussiana de las lentes delgadas.

MUY IMPORTANTE: esta ecuación es la misma que usamos con los espejos, pero el criterio de signos es diferente.

Nota: En el caso de que la lente se encuentre inmersa en un medio que no sea el aire, con índice de refracción n’, la ecuación sería idéntica sin más que sustituir el índice de refracción absoluto de la lente, n, por su índice de refracción relativo al medio n rel = n/n’.

1/f = (n rel - 1).(1/r1 - 1/r2).

Esto quiere decir que el comportamiento convergente o divergente de una lente depende del medio en el que esté inmersa. Ej: Una lente biconvexa se comporta como convergente cuando está en el aire y como divergente si el medio de alrededor tiene un índice de refracción mayor que la lente.

Formación de imágenes en lentes delgadas

Vamos a intentar responder a estas preguntas ¿Cómo vemos la imagen de un objeto a través de una lente? ¿En qué condiciones aparece invertida o derecha? ¿Cuándo se observa aumentada o disminuida?

Utilizaremos la fórmula de Gauss 1/So + n/Si = 1/f

Realizaremos un trazado o diagrama de rayos:

• Rayo 1: Es paralelo al eje óptico y tras ser refractado en la lente, pasa por el foco imagen de la misma

• Rayo 2: Pasa por el centro óptico de la lente. Desde el punto de vista de las lentes delgadas no sufre desviación alguna y que atraviesa la lente en línea recta.

• Rayo 3: Pasa por el foco anterior a la lente, foco objeto y tras ser refractado en la lente, emerge paralelo al eje óptico.

Si observamos la figura y utilizamos la aproximación paraxial

θ = h/So´

θ = -h´/Si

y por tanto el aumento de la imagen es h´/h = -Si/So. Un aumento negativo significa que la imagen resulta invertida.

Imagen de un objeto visto a través de lentes biconvexas

• Posición del objeto entre el ∞ y 2f.

Lente convergente Imagen real, invertida y disminuida y entre f y 2f.

• Posición del objeto a una distancia So = 2f.

Lente convergente Imagen real, invertida y de tamaño natural en 2f.

• Posición del objeto a una distancia So comprendida entre f y 2f.

Lente convergente Imagen real, invertida y aumentada, entre el ∞ y 2f

• Posición a una distancia So = f.

Lente convergente Imagen en el ∞. Se ve un borrón.

• Posición a una distancia So < f.

Lente convergente Imagen virtual, derecha y aumentada.

• Imagen de un objeto con lentes bicóncavas.

Lente divergente Sabemos que 1/f = (n - 1).(1/r1 - 1/r2)

Como r1 es negativo y r2 positivo, f es negativo, es decir que:

1/Si = 1/f - 1/So → Si < 0.

Imagen siempre virtual.

Una lente biconvexa de vidrio con un índice de refracción n = 1,5 tiene sus radios de curvatura de 10 cm y 15 cm. Un objeto de 1,2 cm de alto se coloca a 4 cm de dicha lente; además, a la derecha de la misma y a 12 cm de ella se coloca una segunda lente de distancia focal + 6 cm. Situar la imagen final.

figura e.10

 La figura anterior muestra el diagrama de rayos para este ejemplo. Los rayos utilizados para localizar la

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