Ley De Gravitación Universal

Pr´actica 7

Ley de Gravitaci´on Universal de

Newton

7.1. Introducci´on

En esta pr´actica damos al alumno un gui´on y una relaci´on de referencias para que con su trabajo personal, que estimamos de 10 horas, realice un pequen˜o estudio e investigaci´on que le permita dominar los fundamentos b´asicos de la Ley de Gravitacion Universal.

Es muy recomendable que el alumno estudie y haga los ejemplos de aplicaci´on que se dan en esta pr´actica porque ser´an objeto de examen en el control asociado a esta pr´actica. Con la asimilaci´on correcta de los contenidos escritos que aqu´ı se exponen queda garantizada, al menos, la superaci´on del 80 % de los contenidos del control.

Se aconseja al alumno que utilice ([EP], secciones 5.1 y 6.4) y ([Gu], cap´ıtulo 1) como referencias bibliogr´aficas de apoyo a lo aqu´ı expuesto.

7.2. Leyes de Kepler y de Gravitacion

De acuerdo con la ley de gravitacion de Newton un sat´elite de masa mS se encuentra atra´ıdo hacia la Tierra con una fuerza FS cuya magnitud es directamente proporcional al producto de las masas de la Tierra, mT , y del sat´elite e inversamente proporcional cuadrado de la distancia entre ellos:

FS = G

mT • mS

|r|2

r

• |r|

y , an´alogamente, FT = G

mT • mS

|r|2

−r

• |r|

(7.1)

donde G es la constante de gravitacion y r = pT − pS el vector diferencia entre la posici´on de la Tierra, pT = (xT (t), yT (t), zT (t)), y la posici´on del sat´elite, pS = (xS (t), yS (t), zT (t)) . En consecuencia, se verifica

(ES ) : mS p00 = G

mT mS r

+ mS gS ; (ET ) : mT p00

= G mT mS −r

+ mT gT (7.2)

|r|2

|r|

|r|2

|r|

para gS , gT las aceleraciones a las que se ven sometidas la Tierra y el sat´elite por acci´on de la atracci´on del resto del Universo. Podemos suponer que gS = gT = gU ya que la distancia

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Tierra–sat´elite la consideramos insignificante frente a las distancias de la Tierra y cualquier objeto celeste distinto de sus sat´elites. De las dos igualdades anteriores se obtiene:

1. Si denotamos por M = mT + mS la masa del sistema Tierra–sat´elite, la ecuaci´on

(ES ) + (ET ) nos dice que la posici´on pC = 1 (mS pS + mT pT ) del centro de masas

Tierra–sat´elite verifica p00

= gU de lo que se deduce que la acci´on de atracci´on del

Universo sobre el sistema Tierra–sat´elite recae sobre el centro de masas pC .

2. La igualdad mS • (ET ) − mT • (ES ) toma la expresi´on:

y tambi´en

mT mS r00 = −G



mT mS (mT + mS )

|r|3

G • M

r (7.3)

 X 00(t) = −





(X 2(t) + Y 2(t) + Z (t)2)3/2

G • M

X (t)

Y 00(t) = −



(X 2

(t) + Y

2(t) + Z (t)2)

3/2 Y (t)

(7.4)

 Z 00(t) = G • M Z (t)

 (X 2(t) + Y 2(t) + Z (t)2)3/2

para X = xS − xT , Y = yS − yT y Z = zS − zT .

3. La ´orbita de cualquier sat´elite queda determinada completamente sabiendo dos datos, a saber: la posici´on y la velocidad inicial. Esto se deduce de que el anterior sistema de ecuaciones diferenciales es de orden dos.

La soluci´on exacta del sistema de ecuaciones diferenciales anterior es bien conocida, ver la secci´on 5.1 de [EP]: En las coordenadas polares (ρ, α) asociadas al plano orbital que contiene a ambos planetas y centradas en uno de ellos, se verifica:

4v2/(G • M )

ρ(α) =

a

1 + ² cos(α + α0)

(7.5)

Mejor conocida au´n que esta ecuaci´on resultan las leyes f´ısicas que describen el movi- miento y que son conocidas como las Leyes de Kepler y que afirman, que respecto al sistema de referencia centrado en la Tierra (en realidad fueron enunciadas para el Sol y los planetas) se verifica:

Primera ley de Kepler: La ´orbita que describe un sat´elite es una c´onica de excentricidad

² y la Tierra uno de sus focos.

Segunda ley de Kepler: La velocidad areolar del movimiento del sat´elite, va , es constante.

Tercera ley de Kepler: El cuadrado del periodo de circunvalaci´on del sat´elite es propor- cional al cubo del semieje mayor de su ´orbita. Para ser m´as precisos, se verifica:

T 2 = 4π

D3 (7.6)

G • M

7.3. ENUNCIADOS DE LAS PRA´ CTICAS 55

7.3. Enunciados de las pr´acticas

Pr´actica A Calcular el valor de la constante de gravitacion universal para las siguientes uni- dades de medida: como unidad de masa, U M , utilizamos la masa del Sol; como unidad de distancia; U A (en ingl´es AU ), la unidad astron´omica, es decir, la longitud del semi- eje mayor de circunvalaci´on de la Tierra alrededor del Sol, U A = 149 597 870.66 [[km]]; y, como unidad de tiempo, U T , el an˜o, U T = 365.242199074 [[d´ıas]].

Pr´actica B Calcular el valor de la constante de gravitacion universal para las siguientes unidades de medida: como unidad de masa, um, utilizamos la suma de la masa de la Tierra y de la Luna; como unidad de distancia, ud, la longitud del semieje mayor de la

´orbita de la Luna alrededor de la Tierra, ud = 384 400 [[km]]; y, como unidad de tiempo,

ut, el periodo de revoluci´on de la Luna alrededor de la Tierra, ut = 27.322 [[d´ıas]].

Pr´actica puntuable C A partir del experimento de Cavendish se sabe que la constante de gravitacion universal tiene el valor G = 6.673 • 10−11 [[m3s-2kg-1 ]]. Con las notaciones de las dos pr´acticas anteriores, calcular el valor en kilogramos de U M y um. El c´alculo de um se valorar´a con 1 punto.

Pr´actica puntuable D Carontees una de las lunas de Plut´on. Se pide calcular su masa y su relaci´on con la masa de Plut´on a partir de los datos:

masa de Plut´on 0.12886842 • 1023 [[kg ]

per´ıodo de Caronte 6.38724 [[d´ıas]]

semieje mayor Plut´on–Caronte 19 640 [[km]]

Pr´actica puntuable E Utilizamos un sistema de referencia cartesiano (X, Y, Z ), helioc´entri- co, en el que el plano X Y es el plano orbital de la Tierra (tambi´en llamado ecl´ıptica )

y cuyas unidades de medida son las de la primera pr´actica.

El cometa Halley alcanz´o su u´ltimo perihelio (punto de la trayectoria m´as cercano al

Sol) el 9 de Febrero de 1986. Su posici´on y velocidad en ese momento fueron:

P0 = (0.325514, −0.459460, 0.166229) [[UA]]

V0 = (−9.096111, −6.916686, −1.305721) [[UA/an˜o]]

Suponiendo que sobre el cometa Halley s´olo actu´a la fuerza de atracci´on del Sol, se pide obtener los siguientes elementos de la ´orbita del cometa Halley:

1. Su representacion dentro de su plano orbital.

2. El ´angulo que forma con la ecl´ıptica.

3. La longitud de sus semiejes mayor y menor y el valor de su excentricidad.

4. Su periodo y la fecha de su pr´oximo perihelio.

5. Respecto al sistema de referencia (X, Y, Z ), la posici´on y velocidad en el afelio (punto de la trayectoria m´as alejado del Sol). E´ ste es el u´nico apartado de esta pr´actica sin resolver y, por tanto, el u´nico apartado puntuable con dos puntos.

En realidad, los planetas mayores del sistema solar alteran la ´orbita del cometa Halley, por ello, sobre las soluciones aqu´ı obtenidas hay que admitir un error relativo del 1 %. E´ ste es un problema propuesto en [EP], p. 484.

Pr´actica puntuable F Utilizando las unidades de la segunda pr´actica y un sistema de referencia cartesiano centrado en la Tierra. Sabemos que mT = 0.987722529 [[um]] es la expresi´on de la masa de la Tierra en las unidades um y que las condiciones iniciales de dos sat´elites artificiales S1, S2 son:

Se pide:

(S1) : P1 = (0, 0.1102098, 0) [[ud]]; V1 = (18.8099327, 0, 0) [[ud/ut]] (S2) : P2 = (0, 0.1102098, 0) [[ud]]; V2 = (20.8099327, 0, 0) [[ud/ut]]

1. Obtener una representacion gr´afica de su ´orbita.

2. Obtener la longitud de los semiejes mayor y menor de circunvalacion de S1 y S2

alrededor de

...