Límites (una introducción)

Límites (una introducción)

Aproximarse

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que llega un periodo temporal.

Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

Una definición informal del límite matemático indica que el límite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.

Usemos por ejemplo esta función:

(x2-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

... ...

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Vamos a empezar con un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x

1 1.00000

2 0.50000

4 0.25000

10 0.10000

100 0.01000

1,000 0.00100

10,000 0.00010

Ahora vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

• No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito

• Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

Propiedades. Evaluación de limites.

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Limites laterales

Existen funciones en las que a veces no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente forma a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites, se necesita recurrir a los límites laterales.

La condición necesaria y suficiente para que una función f(x) tenga límite en un punto de abscisa a es que tenga un límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales. Si una función es convergente o tiene límite en un punto, éste debe ser único. Además, toda función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.

Para calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

LÍMITE POR LA DERECHA

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda esL, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.

LÍMITE POR LA IZQUIERDA

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda esL, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.

Límites determinados

Decimos que un límite es determinado cuando al calcularlo se obtiene un resultado que tiene sentido en R.

Se calculan los límites laterales. El límite será + ∞ o - ∞ , o no existirá porque sus límites laterales sean distintos.

El orden del infinito es mayor en ex que en x , por tanto, el denominador tiende a infinito mucho más rápido que el numerador.

Límites indeterminados

Decimos que un límite es indeterminado si al calcularlo el resultado no tiene sentido en R.

Se factorizan numerador y denominador.

Se dividen numerador y denominador entre la mayor potencia de x que aparezca.

Si hay raíces en el denominador se multiplica y se divide por la expresión conjugada del denominador.

Se opera la expresión antes de calcular los límites, o bien, si hay raíces como en este ejemplo, se multiplica y divide por la expresión conjugada.

Se opera la expresión antes de calcular el límite. En muchos casos se convierten en las del tipo: 0/0 o en ±∞/±∞

En estos casos se aplica logaritmo.

Da lugar a potencias del número e.

Cálculo de límites de funciones polinómicas, racionales

1. Cálculo de limites de funciones polinomicas, Cálculo de limites de funciones racionales y Limite de funciones racionales en el infinito Definiciones clave.  Limite de una función.- Valor hacia donde tiende la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo.  Función.- Relación entre dos conjuntos X y Y, tal que cada elemento de X le corresponda uno y solamente uno de los elementos de Y.

2. Definiciones clave.  Racional.- Numero puede representarse como el cociente de dos números enteros con denominador distinto de cero.  Polinomio.- Expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones, pero no divisiones. Los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,3, etc. . Cálculo de limites de funciones polinomicas, Cálculo de limites de funciones racionales y Limite de funciones racionales en el infinito

3. Definiciones clave.  Infinito.- Infinito no tiene final. Es la idea de que algo que no termina. Cálculo de limites de funciones polinomicas, Cálculo de limites de funciones racionales y Limite de funciones racionales en el infinito

4. CÁLCULO DE LIMITES DE FUNCIONES POLINOMICAS

5. Las funciones polinomicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como por ejemplo, f(x)=3x4-5x+6. Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Cálculo de limites de funciones polinomicas

6. Una función polinomial tiene la forma: P(x) = c0 + c1x + c2x2 +•••+cnxn donde c0,c1,...,cn son números reales llamados coeficientes del polinomio; n∈N es un número natural que, si cn , 0, se llama grado del polinomio. Cálculo de limites de funciones polinomicas

7. Para cada número real x, f(x) toma un valor real, entonces el dominio de una función polinomial cualquiera, es el conjunto de todos los números reales. Cálculo de limites de funciones polinomicas

8. Cálculo de limites de funciones polinomicas Ejemplos:

9. CÁLCULO DE LIMITES DE FUNCIONES RACIONALES

10. Una función racional es el cociente de dos polinomios. Una función racional es una función de la forma: R(x) = P(x) Q(x) Cálculo de limites de funciones racionales

11. Dominio de una Función Racional Una función racional f(x) no está definida para valores de x que anulen el denominador, pero si para los demás números reales, así que su dominio

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